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Beweis exp(x) > 0
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Beweis, Exponentialfunktion, Funktion
 
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Hallo, es geht um folgende Aufgabe: Zeigen Sie, dass exp(x) für alle . Gehen Sie dabei wie folgt vor: Zeigen Sie zunächst, dass exp(x)*exp(-x)=1 für alle indem Sie die Ableitung von exp(x)*exp(-x) betrachten. ii) Überlegen Sie nun, dass exp(x) für alle iii) Zeigen Sie schließlich, dass die Annahme exp(x) für irgendein zum Widerspruch führt. Also zu Ok, die Ableitung von ist also ist eine Konstante. Woher weiß ich aber, dass diese Konstante die 1 ist? Zu ii) Naja, ich weiß es halt.. Aber kann ich das irgendwie aus der folgern? Zu iii) hab ich demnach noch keine Ahnung Ich hoffe, mir kann jemand helfen. Vielen Dank schon mal! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Einführung Funktionen |
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Welche Definition von exp(x) soll denn der ganzen Aufgabe zugrunde gelegt werden? Es kann ja offenbar nicht die Definition als Exponentialfunktion zur Basis exp(x):=e^x sein, denn da wäre ja mit den Potenzgesetzen trivial. Kann dir da nicht Sheldon unter die Arme greifen? |
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"Ok, die Ableitung von ist also ist eine Konstante. Woher weiß ich aber, dass diese Konstante die 1 ist?" |
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Hallo, > Zu ii) Naja, ich weiß es halt.. Aber kann ich das irgendwie aus der i) folgern? Wenn du wirklich gezeigt hast, so würde aus der Annahme doch folgen... Zeig mal (i) (vermutlich liegt da schon eine Schwierigkeit)! Mfg Michael |
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Hallo Michael, stimmt, wenn ich vollständig gezeigt habe, dann ist ii) trivial. Ich habe bei eben gezeigt, dass ist, aber noch nicht, dass . Denn das was supporter geschrieben hat, mit den Potenzgesetzen, darf denke ich nicht benutzt werden, sonst ist das mit der Ableitung ja unnötig. |
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Denn das was supporter geschrieben hat, mit den Potenzgesetzen, darf denke ich nicht benutzt werden, sonst ist das mit der Ableitung ja unnötig. So ist es. Also verrate uns, von welcher Definition von exp(x) du ausgehen sollst. Wenn du bei bereits exp(x)*exp(-x)=const. gezeigt hast, dann kannst du diese Konstante doch bestimmen, in dem du einen beliebigen Wert für zB einsetzt. Da sollte sich dann 1 ergeben. Wie gesagt, der Knackpunkt ist die Definition von exp(x) und die Eigenschaften, die ihr für exp(x) bereits gezeigt habt und verwenden dürft. |
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Leider habe ich auch keine andere Defintion, als die mit dem aber die Potenzgesetze sollen nicht benutzt werden. Wir haben noch die Bedingung, dass wenn und dann ist exp(x) und mal gezeigt, dass exp(x+y) = exp(x)exp(y), sowie exp(x) = exp(x+y)exp(-y). Ich versuche die ganze Zeit mit diesen Argumenten zu arbeiten, aber ich komme nicht weit.. |
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Leider habe ich auch keine andere Defintion, als die mit dem ex, aber die Potenzgesetze sollen nicht benutzt werden. Eigenartig. Dachte eher, dass ihr die Funktion als Grenzwert oder als unendliche (Potenz)Reihe definiert habt. Ich versuche die ganze Zeit mit diesen Argumenten zu arbeiten, aber ich komme nicht weit.. Aber wie du auf kommst, das habe ich dir doch schon geschrieben!? Du hast mit den erlaubterweise verwendeten Eigenschaften der Funktion bereits berechnet und hast auch schon daraus geschlossen, dass daher g(x)=const. sein muss. Wir wissen nur noch nicht, welche Konstante es ist. Also setzen wir einen beliebigen Wert ein und da wir von f(x)=exp(x) nur den Funktionswert an der Stelle kennen (dürfen), werden wohl auch diesen Wert einsetzen und kommen auf . Damit ist doch schon in Summe gezeigt. |
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Hallo Roman, die und die ii) sind klar. Nur die iii) dass exp(x) für alle da komme ich im Moment zu keiner Lösung. |
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Ohh... jetzt seh ich es auch. Verdammt, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht |
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Wir dürfen wissen, dass die Ableitung von f(x)=exp(x) wieder exp(x) ist. Dürfen wir da auch wissen bzw. daraus schließen, dass die Funktion an jeder Stelle differenzierbar und somit auch stetig ist? Also dürfen wir wissen, dass das in ganz gilt? Falls ja, wäre ii) einfach, denn wie sollte die Funktion dann stetig von der Stelle (x_0//exp(x_0) mit exp(x_0)<0 zum bekannten Punkt kommen, ohne die x-Achse zu schneiden (denn nach ii) hat die Funktion ja keine Nullstelle). Ich denke, du wirst f'(x)=exp(x) voraussetzen dürfen. |
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Stimmt, mit der Stetigkeit zu arbeiten ist super! :-) Vielen Dank für die Hilfe |
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