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sin(π/5) bestimmen (irrationale Zahl)

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Einheitskreis, Sinus, Taylorentwicklung, Taylorreihe

nasher aktiv_icon

14:41 Uhr, 23.12.2008

Hi ihr da draußen!
Kann mir einer sagen, wie man $sin (\frac{π}{5})$ als irrationelle Zahl schreibt oder wie man das rechnet; zb wie: $sin (\frac{π}{2}) = 1$ oder $sin (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
danke
gruß nasher

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

fhuber aktiv_icon

14:56 Uhr, 23.12.2008

Für die Berechnung der Werte von Sinus und Kosinus der Winkel 30°, 45° und 60° bzw. den entsprechenden Winkeln im Bogenmaß gibt es einfache Herleitungen:

Spezielle Werte für Sinus und Kosinus bestimmen

nasher aktiv_icon

15:04 Uhr, 23.12.2008

erstmal danke für die antwort, aber ich brauch ja den Wert für $sin (\frac{π}{5}) . .$ . das entspricht genau $36$ Grad. Die ganzen Formeln behandeln aber nur $30, 45, 60, 90$ Grad. Was mach ich jetzt?

fhuber aktiv_icon

17:42 Uhr, 23.12.2008

Da hast Du natürlich recht.

Bei beliebigen Winkeln gibt es solche einfachen Herleitungen nicht mehr.

Man kann den Sinus als Taylorreihe schreiben.
Je mehr Glieder man wählt, desto genauer wird der Wert.

$sin (x) = x - (\frac{x^{3}}{3!}) + (\frac{x^{5}}{5!}) - (\frac{x^{7}}{7!}) + (\frac{x^{9}}{9!}) - ...$

Einfach für $x$ den entsprechenden Winkel eintragen.

Allgemein kann lässt sich die Reihenentwicklung des Sinus so schreiben:

$sin (x) = x \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- x^{2})}^{k}}{(2 k + 1)!}$

DK2ZA aktiv_icon

17:51 Uhr, 23.12.2008

Mit etwas googeln gefunden:

$sin (\frac{π}{5}) = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5 - \sqrt{5}}$

GRUSS, DK2ZA

fhuber aktiv_icon

17:52 Uhr, 23.12.2008

Kennst Du den geometrischen Zusammenhang?

Oder ist über die Additionstheoreme gelöst?

DK2ZA aktiv_icon

17:57 Uhr, 23.12.2008

Schreib mal einfach in die Eingabezeile von Google: $sin (\frac{π}{5})$

Ist ziemlich verzwickt. Habe mich nicht genauer damit beschäftigt.

GRUSS, DK2ZA

fhuber aktiv_icon

18:07 Uhr, 23.12.2008

Hab' gefunden.
Geht über das Additionstheorem.

$cos (\frac{π}{5}) = cos ((\frac{π}{2}) - (3 \frac{π}{10}))$
$cos (\frac{π}{5}) = cos (\frac{π}{2}) \cdot cos (3 \frac{π}{10}) + sin (\frac{π}{2}) \cdot sin (3 \frac{π}{10})$
$cos (\frac{π}{5}) = sin (3 \frac{π}{10})$
$cos (\frac{π}{5}) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Wenn man den Kosinus hat kann man über die Gleichung

${sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) = 1$

Den Sinuswert herleiten.

Ich habe noch weitere Werte bei MathWorld gefunden
http//mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi5.html

nasher aktiv_icon

10:05 Uhr, 25.12.2008

DANKE!!!
ihr habt mir wirklich geholfen.
grüße

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