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Erklärung der Berechnung von Extremwerten
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Extremwert, Kurvendiskussion, Lokale Extremalpunkte, Maximum, Minimum
 
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Hallo, und zwar haben wir zurzeit gebrochenrationale Funktionen als Thematik, ich versteh davon aber nur bedingt etwas. Besonders das Lösen von Extremwerproblemen finde ich wirklich schwierig. Kann mir das vielleicht mal jemand am Beispiel von dieser Aufgabe erklären: Muss ich dabei dann die erste Ableitung Null setzen?? ich versteh nur bahnhof irgendwie danke für jede hilfe. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff) Extrema (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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anonymous 20:37 Uhr, 30.11.2010 |
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also zunächst muss man sich klarmachen, was mit einem (lokalen) extrempunkt gemeint ist. machen wir erstmal einen hochpunkt. ein (lokaler) hochpunkt ist der punkt auf einem funktionsgraphen, der in einem unendlich kleinen abstand links und rechts kleinere funktionswerte hat. das bedeutet ja, dass bis zum hochpunkt der funktionswert gestiegen ist und danach anfängt zu fallen. funktionswert steigend bedeutet, dass die steigung positiv ist, analog bedeutet ein fallender funktionswert (natürlich immer auf fortlaufende eine negative steigung bedeutet. in dieser formulierung verstecken sich vom sinn her schon beide kriterien für einen (lokalen) hochpunkt. nämlich, dass die steigung der funktion eine ECHTE nullstelle bei dem extrempunkt haben muss. (wenn die funktion erst eine positive steigung und dann eine negative steigung hat, muss sie ja dazwischen irgendwo 0 sein hochpunkt) also ist das notwendige kriterium auf jeden fall, dass die steigung . ableitung) eine nullstelle haben muss. aber es muss auch eine echte nullstelle sein, also mit vorzeichenwechsel. wenn nun die funktion der steigung eine echte nullstelle haben soll, muss die steigung . ableitung) an dem möglichen hochpunkt ja den vorzeichenwechsel von nach - machen. . die steigung der steigung muss bei der möglichen extremstelle negativ sein, denn wenn eine in einem bereich stetige funktion (keine knicke und sprünge) an einer stelle ein negative steigung hat, hat die funktion an einer unendlich wenig weiter rechten stelle einen kleineren funktionswert. also: hochpunkt: die steigung muss einen vorzeichenwechsel machen notwendiges kriterium: nullstelle in der steigung, ohne die gehts nicht. hinreichendes kriterium: echter vorzeichenwechsel von nach steigung der steigung . ableitung) an der möglichen stelle muss negativ sein. analog für einen tiefpunkt ist das hinreichende kriterium, dass der vorzeichenwechsel von - nach geht, die steigung der steigung . ableitung) also positiv an der stelle ist. notwendig: hinreichend: tiefpunkt; hochpunkt (wendepunkte funktionieren genauso, da sie die extrempunkte der 1. ableitung sind, mach also bei den ganzen ableitungen nochn strich dran und du hast die kriterien für wendepunkte und nennst jetzt tiefpunkt "minimum der steigung" und hochpunkt "maximum der steigung" die kurvendiskussion funktioniert immer gleich, nur dass man bei gebrochen rationalen funktionen noch die pole und asymtoten im unendlichen ermitteln muss. |
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danke, richtig gut erklärt |
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