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Exponential- & Logarithmusgleichung lösen

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Funktionen

Tags: e-Funktion, Exponentialfunktion, Exponentialgleichung, Exponentialgleichung lösen, Funktion, Logarithmus, Logarithmusfunktion

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18:27 Uhr, 06.06.2016

Hallo zusammen,
folgende Gleichungen sollen gelöst werden, allerdings komme ich auf keine finale Lösung. Kann mir da jemand weiterhelfen?

Hier meine Ansätze:

(π - 1) e^{- x} - 2 π cosh (x) + π = - 1

(π - 1) e^{- x} - π \cdot (e^{x} + e^{- x}) + π = - 1

π e^{- x} - e^{- x} - π e^{x} - π e^{- x} + π = - 1

- e^{- x} - π e^{x} + π = - 1

Substituiere

z := e^{x}

- \frac{1}{z} - π z + π = - 1

π \cdot z^{2} + π z + z - 1 = 0

Wenn ich noch ein wenig weiter umforme und hierauf die pq-Formel anwende bekomme ich eine riesen Formel, die meiner Meinung nach nicht richitg sein kann.

Als weitere Aufgabe sollen wir folgendes lösen:

log (\sqrt{x + 1}) - log (x^{2} + 1) = - log (\sqrt{2})

Nach ein paar Umformungen komme ich dann auf:

x^{4} + 2 x^{2} - 2 x - 1 = 0

Ist das so richtig und wie komme ich dann auf eine konkrete Lösung? Durch Ausprobieren bin ich auf

x = \pm 1

gekommen. Mithilfe des Zwischenwertsatzes sollen wir dann nur noch ein Intervall angeben, in dem es eine weitere Lösung geben muss.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Einführung Funktionen
Logarithmusgesetze - Einführung
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

19:15 Uhr, 06.06.2016

>

Wenn ich noch ein wenig weiter umforme und hierauf die pq-Formel anwende bekomme ich eine riesen Formel,
Das könnte an deinem Vorzeichenfehler in der letzten Zeile liegen

\to

das sind

- π z^{2} + . .

.
Ansonsten ist dein Ansatz goldrichtig und führt schnurstraks zu den Lösungen

x_{1} = 0

und

x_{2} = - ln π

.

Zur zweiten Aufgabe: Deine Gleichung vierten Grades ist richtig und ja, da wird man nur durch Probieren eine Lösung finden.

x = 1

ist korrekt, aber

x = - 1

ist keine Lösung!
Es gibt noch eine weitere reelle Lösung in der Gegend von

- 0,361,

die anderen beiden Lösungen sind konjugiert komplex.
Die zweite reelle Lösung könntest du mit einem numerischen Näherungsverfahren bstimmen (naja, theoretisch könntest auch nach Polynomdivision durch

(x - 1)

die kubische Gleichung mit Cardano exakt lösen, aber das willst du sicher nicht).
Du sollst ja auch nur die Lage dieser zweiten reellen Lösung begründet eingrenzen.