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Exponentielles Wachstum Funktionsgleichung

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Exponentielles Wachstum, Funktionsgleichung, ln-Funktion

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20:50 Uhr, 11.11.2017

Hallo,

ich bin gerade etwas verwirrt, beim aufstellen von Funktionsgleichungen für exponentielles Wachstum. Denn in verschiedenen Beispielen, die ich dazu finde, wird die Funktionsgleichung entweder so gebildet:

f (x) = f (0) \cdot e^{k \cdot x}

oder so:

f (x) = f (0) \cdot e^{x \cdot ln (k)}

Beispielsweise hatten wir mal folgende Aufgabe in der Schule:
Auf einer Insel leben bei Beginn der Beobachtung

100

Kaninchen. Die Anzahl der Kaninchen nimmt monatlich

10 %

zu.
Die Funktionsgleichung dazu lautet:

f (x) = f (0) \cdot e^{x \cdot ln (1,1)}

Bei einer anderen Aufgabe war die DGL

f' (x) = - 0,3 \cdot f (x)

und

f (0) = 600

gegeben, hier haben wir die Funktionsgleichung jedoch ohne

ln

gebildet:

f (x) = f (0) \cdot e^{- 0,3 \cdot x}

Warum ist das so?

Wahrscheinlich habe ich gerade einen riesen Denkfehler, deshalb wäre ich sehr froh, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Hyperbeln
Potenzfunktionen - Fortgeschritten
e-Funktion
ln-Funktion

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DrBoogie aktiv_icon

10:32 Uhr, 12.11.2017

k

bzw.

\ln (k)

nur ein Parameter ist, der alle mögliche Werte (je nach Aufgabe) annehmen kann, gibt's keinen grundsätzlichen Unterschied dazwischen. Ich kann ja auch

- 3

als

\ln (e^{- 3})

schreiben.

ItsMax aktiv_icon

14:24 Uhr, 12.11.2017

Wenn ich jetzt aber eine solche Aufgabe habe: Die Bevölkerung Irlands

(4,6

Millionen) wächst pro Jahr um

4 %,

warum nehme ich dann

ln (0,04)

als Wachstumsfaktor und nicht nur

0,04

? Wie sehe ich anhand der Aufgabenstellung, wie ich die Funktionsgleichung bilden muss?

Also warum lautet die Funktionsgleichung hier

f (x) = e^{ln (0.04) \cdot x}

und nicht

f (x) = e^{0.04 \cdot x}

DrBoogie aktiv_icon

14:50 Uhr, 12.11.2017

Am Anfang muss Du immer

f (x) = C e^{k x}

schreiben und dann

C

und

k

aus der Aufgabe bestimmen.
In Deiner Aufgabe hast Du folgende Angaben: am Anfang (also bei

x = 0

) ist die Bevölkerung

4.6

Mio. Daher gilt

C = C e^{k \cdot 0} = 4.6

Mio. Pro Jahr wächst die Bevölkerung um

4 %

, also nach einem Jahr gilt

4.6

Mio.

\cdot 1.04 = C e^{k \cdot 1} = 4.6

Mio.

\cdot e^{k}

, woraus

e^{k} = 1.04

folgt und daher

k = \ln (1.04)

.

Von der Aufgabe sofort darauf schließen zu wollen, ob es Log ist oder nicht, ist aus meiner Sicht ein falscher Ansatz, denn er reduziert Mathe zu einem Rezeptbuch, was Mathe aber nicht ist.

ItsMax aktiv_icon

15:00 Uhr, 12.11.2017

Vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen!
Stimmt, wenn die Lehrer einem einfach die Formeln hinschmeißen und sagen, mann solle die Zahlen der Aufgabe einfach hineinsetzen, hilft das einem nicht wirklich weiter.

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