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Extremalaufg. Fußballstadion (Rechteck in Parabel)

Schüler

Tags: Extremalaufgabe, Parabel, Rechtecke sollen max. werden

Chantal1993 aktiv_icon

13:05 Uhr, 26.02.2011

Hallo Leute!

Ich sitze an einer schwierigen Extremalaufgabe und brauche Hilfe beim Lösen:

Es geht um ein Fußballfeld, dass von einer 400m-Laufbahn umgeben wird

(U = 400 m)

. Die Frage ist: Wie muss a (Längsseite des Fußballfeldes) gewählt werden, sodass das Fußballfeld in der Mitte

max

. Inhalt hat?

Lösungsansätze:

a)

Ich habe mir überlegt, dass diese 400m-Laufbahn in Parabeln zerlegt werden könnte

(f (x)

und

- f (x))

b)

Dann könnte man vielleicht aus dem Umfang der Bahn (also beider Parabeln), der

400 m

beträgt auf die Parabelgleichung schließen. Kann man das machen? Wie geht das?

c)

Dann könnte man doch erstmal

\frac{1}{2} a

berechnen, wie bei klassischen Extremalaufgaben wie rechteckiges Tor in Parabel oder?

gegeben:

U = 400 m

Bitte um Hilfe und bedanke mich schon mal im Voraus ;-)
Chantal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Atlantik aktiv_icon

14:20 Uhr, 26.02.2011

Hallo Chantal,

mach es dir doch nicht so schwer:

Das Fußballfeld ist ein Rechteck, welches einen maximalen Flächeninhalt haben soll.

Zudem hat das Fußballfeld einen Umfang von

400 m

Die Fläche des Feldes ist mit

x \cdot y

zu berechnen. Der Umfang mit

2 \cdot x + 2 \cdot y

.

Also:

2 \cdot x + 2 \cdot y = 400

ergibt für

y

y = 200 - x

und das nun eingesetzt in die Flächenformel, ergibt die Fläche in Abhängigkeit von

x

A (x) = x \cdot (200 - x)

A (x) = 200 \cdot x - x^{2}

Jetzt nur noch die Ableitung bilden und diese dann 0 setzen.

Alles Gute

Atlantik

Chantal1993 aktiv_icon

14:39 Uhr, 26.02.2011

Ich hab mich da vielleicht ein bisschen doof ausgedrückt, aber ohne Skizze ist das etwas umständlich.
Nicht das Fußballfeld hat einen Umfang von

400 m,

sondern die ovale

(2

Parabeln) Laufbahn drum herum.

mathemario aktiv_icon

14:48 Uhr, 26.02.2011

"Ich hab mich da vielleicht ein bisschen doof ausgedrückt, aber ohne Skizze ist das etwas umständlich.
Nicht das Fußballfeld hat einen Umfang von

400 m,

sondern die ovale

(2

Parabeln) Laufbahn drum herum."

Reale Sportplätze weisen eine

400 m

Bahn auf, die aus zwei Halbkreisen und zwei geraden Teilstücken bestehen.

Auch stellt der Graph einer Parabel kein "Oval" in der mathematischen Bedeutung dar.

Poste mal bitte den genauen Aufgabentext.

Chantal1993 aktiv_icon

14:55 Uhr, 26.02.2011

Einen Aufgabentext gibt es leider nicht. Unser Lehrer hat nur eine Skizze von so einem Stadion mit Fußballplatz an die Tafel gemalt, "ULaufbahn(als Index)=400m" und "Wie muss a (Längsseite des Fußballfeldes) gewählt werden, sodass das Fußballfeld in der Mitte maximalen Inhalt hat?" rangeschrieben.

Shipwater aktiv_icon

15:01 Uhr, 26.02.2011

In etwa sowas:
http//images.onlinemathe.de/images/fragenbilder/images/2eb62b118ef0854b874d2d48bab59820.JPG

mathemario aktiv_icon

15:17 Uhr, 26.02.2011

"Einen Aufgabentext gibt es leider nicht. Unser Lehrer hat nur eine Skizze von so einem Stadion mit Fußballplatz an die Tafel gemalt, "ULaufbahn(als Index)=400m" und "Wie muss a (Längsseite des Fußballfeldes) gewählt werden, sodass das Fußballfeld in der Mitte maximalen Inhalt hat?" rangeschrieben."

Dann hat er das Wissen um die Beschaffenheit eines Sportplatzes vorausgesetzt, ist eine klassische Aufgabe.

Na, wie lang ist die

100 m

Bahn...

Also, stell' Dir das Fussballfeld als Rechteck vor, daran sind für die

400 m

Bahn zwei Halbkreise angesetzt.

Die Halbkreise haben den Radius

r,

die Längsseiten des Platzes die länge

l

und die Breite

2 r

.

Also ergibt sich für den umfang der

400 m

Bahn folgendes

u = 2 \cdot l + 2 \cdot π \cdot r = 400

für die Fläche des Fussballplatzes ergibt sich

A = 2 r \cdot l

Das ist Deine Zielfunktion.

Da sie aber zwei Variablen hat, muss für die Art von Lösung die man von Dir erwartet noch eine ersetzt werden.

Daher ergibt sich

A (r) = 2 r \cdot (200 - π \cdot r)

Da diese Fläche maximal werden soll, ist der Hochpunkt gesucht.

Den kannst Du übver die Scheitelpunktsform, die Nullstellen oder per Ableitung ermitteln.

A (r) = 400 r - 2 \cdot π + r^{2}

A' (r) = - 4 \cdot π \cdot r + 400

A' (r) = 0

- 4 \cdot π \cdot r + 400 = 0

\Leftrightarrow r = \frac{100}{π}

Einsetzen

2 \cdot l + 2 \cdot π \cdot (\frac{100}{π}) = 400

\Leftrightarrow l = 100

Naja, kommt hin, denn an den Längsseiten eines solchen Platzes sind die

100 m

Bahnen.

Chantal1993 aktiv_icon

15:34 Uhr, 26.02.2011

Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich hab dann wohl vorschnell geschlussfolgert, dass es um Parabeln gehen muss...

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