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Extremwertaufgabe für allgemeine Parabel

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Extremwertaufgabe, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Parabel

Drake88 aktiv_icon

14:52 Uhr, 09.09.2012

Hallo Online Mathler :-)

Ich habe nochmal Probleme bei einer Extremwertaufgabe:

Die Funktion

f (x) = - a \cdot x^{2} + b

(für

a > 0

und

b > 0)

schließt im ersten Quadranten mit der

x -

und y-Achse ein Rechteck ein. Berechnen Sie das

x,

für das der Flächeninhalt dieses Rechteckes maximal wird.

Soweit die Aufgabe.

Prinzipiell handelt es sich also um irgendeine x-beliebige umgedrehte Parabel. Auch gilt natürlich: Wenn ich a gegen 0 laufen lasse wird meine Parabel immer breiter, wenn ich

b

gegen unendlich laufen lasse wird der Scheitelpunkt immer höher.

Also erstmal: Das größte Volumen hätte das rechteck vermutlich, wenn genau das vorliege oder? Also eine extrem hohe und extrem breite Parabel. Aber das ist ja noch kein Wert

x ...

.

Generell ist mit die Vorgehensweise bekannt. Das Volumen des rechtecks ist

a \cdot b,

wobei die Strecke a dann

- a + x^{2} + b

ist und die Strecke

b = f (- a + x^{2} + b)

ist. Die Gleichung dazu aufzulösen hab ich noch gar nicht gemacht, weil es extrem umständlich ist und ich ohne Nebenbedingung da sowieso nicht weiterkomme mit der Extremwertbestimmung.

Ich muss also a und

b

irgendwie in Verbindung mit

x

und/oder

f (x)

bringen....mir fehlt aber gänzlich die Inspiration muss ich sagen.

Zu

b

könnte man ja noch sagen, dass sich der f(x)-wert einigermaßen proportional zum Anstieg erhöht, also

b + 1

wäre ungefähr f(a+x^2+b)+1..aber bei a fehlt mir das Verständnis völlig...

Kann man die Aufgabe überhaupt lösen oder bekommt man rechenmäßigen Murks bei der Extremwertbestimmung raus?

Danke schonmal für die Machete für mein geistiges Dickicht ;-)
Lg

Drake

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Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
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michaL aktiv_icon

15:10 Uhr, 09.09.2012

Hallo,

die Aufgabe ist - so gestellt - unsinnig. Vermutlich (aber das sollte hier nicht vorkommen, dass ich vermuten muss) geht es um ein achsenparalleles Rechteck, deren einer Eckpunkt (0;0) und deren anderer Eckpunkt

(x; f (x))

ist.

Natürlich kann man das berechnen, du aber offenbar nicht ohne Hilfe. Grundsätzlich finde ich es gut(!), wenn man solche Aufgabe eben nicht nur stur angeht, sondern versucht, vorher zu denken...
Hier allerdings ist wegen der beiden Parameter

a

und

b

wenig Staat zu machen, du musst halt rechnen.
Stelle doch vielleicht der Einfachheit halber (so wie ihr es vermutlich gelernt habt) die Zielfunktion auf.

Mfg Michael

Drake88 aktiv_icon

15:23 Uhr, 09.09.2012

Also Zielfunktion ist doch V(Rechteck)..mit

V = c \cdot d

(ich nehme mal nicht

a \cdot b,

da die beiden Variablen ja schon vorhanden sind).

c

ist in diesem Fall die Länge in Richtung

x,

also

c = - a \cdot x^{2} + b

d

ist die Höhe in y-Richtung, also

d = f (- a \cdot x^{2} + b) = - a \cdot {(- a \cdot x^{2} + b)}^{2} + b,

wenn ich das richtig sehe.

bei

d

ist die innere Klammer (also

{(- a \cdot x^{2} + b)}^{2})

wohl als binomische Formel zu verstehen, aber bevor ich mich totrechne, meinst du als Zieflfunktion dann:

V = (- a \cdot x^{2} + b) \cdot (- a \cdot (- a \cdot x^{2} + b) + b)

Oder bin ich auf dem Holzweg?

edit:

Ach moment, das heißt im Klartext ich nehme a und

b

mit der Zielfunktion von oben durch die Ableitungen mit als konstante Faktoren und mache mein

x

dann am Ende dadurch abhängig von a und b? Ist es wirklich so einfach?

Atlantik aktiv_icon

19:19 Uhr, 09.09.2012

Ich nenne die Seite des Rechtecks auf der x-Achse

u

. Der Eckpunkt

P

auf der Parabel hat dann die Koordinaten

P (u | - a \cdot u^{2} + b)

Somit gilt für die Rechteckfläche:

A (u) = u \cdot (- a \cdot u^{2} + b) = - a \cdot u^{3} + b \cdot u

A ´

(u) = - 3 \cdot a \cdot u^{2} + b

- 3 \cdot a \cdot u^{2} + b = 0

u^{2} = \frac{b}{3 a}

u = \pm \sqrt{\frac{b}{3 a}}

mfG

Atlantik

Drake88 aktiv_icon

19:56 Uhr, 09.09.2012

Hmm, ok auf Substitution hätt ich auch kommen können....Kopf->Wand

Danke für den Tipp, so ist es natürlich klar :-)

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