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Funktion 2. Ordnung gesucht

Universität / Fachhochschule

Tags: Parabel

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09:23 Uhr, 13.01.2026

Ich suche eine Funktion, abgeleitet von y=x-x². Bei der Kurve y=x-x² liegt im betrachteten Wertebereich

0 \leq x \leq 1

das Maximum bei

x = 0,5

. Für die neue Funktion soll weiterhin gelten

y (0) = 0; y (1) = 0

. Aber die Lage des Maximums soll mit einem weiteren Parameter auf der x-Achse zwischen

> 0

und

< 1

verschoben werden können (und ggf die Höhe des Maximums mit einem weiteren Parameter verändert werden)
Da gibt es sicher schon eine Standardformel, aber ich komm nicht drauf und im Netz habe ich auch nichts gefunden. Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Ein Link auf eine entsprechende Formel würde mir schon reichen... ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
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Roman-22

10:23 Uhr, 13.01.2026

Die Höhe des Maximums zu ändern ist kein Problem - multipliziere einfach den Funktionsterm mit einem Parameter

λ \to f (x) := λ \cdot (- x^{2} + x)

.

Was das Verschieben der Extremstelle in

x

.Richtung anlangt, wirst du Pech haben, wenn du auf einer quadratischen Funktion der Bauart

f (x) := a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

bestehst.
Durch

f (0) = f (1) = 0

ist die Symmetrie bezüglich

x = 0,5

bereits festgelegt.

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10:33 Uhr, 13.01.2026

Jetzt wo du das sagst wird es mir auch klar - mit der Symmetrie. Eine Funktion höherer Ordnung würde auch gehen. Vermutlich muss ich dann aber weitere Randbedingungen definieren.

Oder welche andere Art von Funktion schwebt dir da vor?

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10:40 Uhr, 13.01.2026

Ich stelle mir am ehesten vor, eine Parabel so zu drehen, dass sie weiterhin durch

(0,0)

und

(1,0)

geht.

calc007

10:55 Uhr, 13.01.2026

Eine Möglichkeit wäre ja die, die unabhängige Variable zu verstimmen,

z . B

. .

. :

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11:01 Uhr, 13.01.2026

Danke! Das ist ein guter Ansatz, mit dem ich weiter experimentieren kann.

Roman-22

11:30 Uhr, 13.01.2026

Die Parabel zu drehen wäre eine Möglichkeit. Allerdings wäre das dann nicht mehr der Graph einer Funktion

y = f (x),

da es ja zu einigen x-Werten zwei unterschiedliche y-Werte geben würde.
Du müsstest dazu die Kurve vielleicht in Parameterdarstellung angeben. Diese dann aber auch so zu skalieren und zu verschieben, dass der Graph durch

(0 / 0)

und

(1 / 0)

läuft und das Maximum an einer bestimmten zu wählenden Position ist, stelle ich mir etwas aufwändig vor.

Die Verwendung einer kubischen Funktion

f (x) := a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x

wäre möglich. Man kann leicht Formeln für die Koeffizienten

a, b, c

angeben, sodass der Graph auch durch

(1 / 0)

läuft und einen Extremwert an einer zu wählenden Stelle

(m / h)

hat.

Und es kann durchaus Ergebnisse liefern, die vermutlich erwünscht aussehen:

Aber es kann auch solche Ergebnisse liefern:

Es erfüllt alle deine geforderten Kriterien und doch vermute ich, dass du vielleicht nicht ganz zufrieden damit bist ;-)

Vielleicht wäre es an der Zeit, dass du verrätst, was denn wirklich dein Ziel liegt, warum und für welche Anwendung du eine solche Funktion mit wählbarer Maximumstelle benötigst.

Vielleicht ist ja auch die von calc007 vorgeschlagene Funktion mit nicht-ganzzahligen Exponenten (ist natürlich weit weg von deiner ursprünglich gewünschten quadratischen Funktion) eine Option für dich. Allerdings wird es bei diesem Ansatz schwierig, dem Parameter

q

so zu bestimmen, dass sich der Hochpunkt genau an einer vorgegebenen Stelle einstellt. Außerdem stellen sich keine bezüglich

x = 0.5

symmetrische Graphen ein, wenn die Hochpunkte bezg.

x = 0.5

symmetrisch sind. Aber ich habe keine Ahnung, ob das für deine Anwendung eine Rolle spielt, oder nicht.
Hier die Graphen mit Hochpunkten bei

(0.25 / 1)

bzw.

(0.75 / 1) :

EDIT: Sehe gerade, dass der Vorschlag von calc007 deine Bedürfnisse zu erfüllen scheint. Dann kannst du diesen Beitrag getrost ignorieren.

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11:50 Uhr, 13.01.2026

Ich möchte mit so einer Funktion die Anzeige eines analogen Anzeigeinstruments "linearisieren". Die Anzeige ist nicht proportional zur Eingangsgröße.
Und ich möchte/muss eine neue Skala anfertigen. Da mir die Abweichung vom Ideal (linearer Zusammenhang) nicht bekannt ist, wäre das ein schwieriges Unterfangen.
Ich sehe aber, dass die vorhandene Skala im Bereich der Mitte (nicht genau in der Mitte) "gedehnt" ist und Richtung Nullpunkt und Vollausschlag gestaucht.
Das Ziel ist jetzt, mit so einer Funktion einen Korrekturwert zu berechnen, mit dessen Hilfe eine lineare Skala verwendet werden kann.
Das Ganze muss nicht unendlich genau sein, ich denke, das wird sich zufriedenstellend lösen lassen.

Roman-22

12:04 Uhr, 13.01.2026

Du könntest mal eine Messreihe der gemessenen Werte zusammen mit der Reihe der Werte, die dabei angezeigt werden sollen posten (evt. externer Link), sodass man da eine geeignete Fit-Funktion finden könnte. Gibt auch spezielle Programm zum Auffinden solcher Fits.

Wenn es als auch nicht-ganzzahlige Exponenten sein dürfen, ist

u . U

. auch die folgende Funktion von Nutzen. Hier sind Graphen mit Maxima symmetrisch bzgl

x = 0.5

auch spiegelbildlich bzgl

x = 0.5

und die Position

(m / h)

des Maximums lässt sich leicht genau einstellen:

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12:28 Uhr, 13.01.2026

@Roman-22 Dass diese letzte Formel spiegelbildliche Ergebnisse liefert ist natürlich interessant. Vielen Dank!
Da das Maximum nicht sehr weit aus der Mitte liegt, könnte die Funktion von @calc007 durchaus ausreichend sein. Ich werde zunächst mal damit experimentieren.

Ich hab die Aufgabe erst mal als gelöst markiert. Danke euch beiden für die Unterstützung!
Mit so schneller und für mich brauchbarer Hilfe hätte ich gar nicht gerechnet.

HAL9000

16:40 Uhr, 13.01.2026

Eine Möglichkeit ist auch die Dichte

f (x) = \frac{Γ (p + q + 2)}{Γ (p + 1) Γ (q + 1)} \cdot x^{p} {(1 - x)}^{q}

der Beta-Verteilung Beta(p+1,q+1) ( de.wikipedia.org/wiki/Beta-Verteilung ), die ist allerdings nicht so skaliert, dass das Maximum 1 ist, sondern die Fläche unter der Dichtekurve den Wert 1 hat - aber das kann man ja entsprechend anpassen.

Die Maximumposition ist hier bei

x_{m} = \frac{p}{p + q}

zu finden.

Romans Vorschlag ist gewissermaßen der Spezialfall

p = 2 m, q = 2 - 2 m

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17:01 Uhr, 13.01.2026

@HAL9000 Vielen Dank für deine Lösung und Erklärung!

Leider ist es zum Haare raufen! Die ganze Arbeit der Suche nach einer Lösung hat sich erübrigt. Da ich von hier gute Ansätze für die Linearisierung bekommen habe, habe ich mich sogleich an die Arbeit gemacht und eine neue lineare Skala für das Uralt-Instrument

(60 A

Schalttafel Anzeige aus Bakelit) gedruckt und sie in das Instrument eingebaut. Jetzt stellt sich heraus, dass der "Lehrling" vor

100

Jahren die Original-Skala einfach nicht richtig gezeichnet hat und in der Skalierung Nichtlinearitäten sind, die das Instrument gar nicht hat

% -)

Natürlich gibt es eine ganze Reihe nichtlinearer Zeigerinstrumente, deshalb war mir sofort klar, da muss ich was machen. Stimmt aber nicht. Meine Lineare Skala passt perfekt.
Lustig, was die damals verkauft haben.

War aber ein wirklich sehr interessanter und erfreulicher Ausflug für mich in dieses Forum! Ich komme sicher wieder, wenn mich mal wieder ein paar Zahlen ärgern :-)

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17:12 Uhr, 13.01.2026

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17:13 Uhr, 13.01.2026

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