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Funktionsgleichung umstellen (Anhalteweg)?

Schüler Stadtteilschule, 10. Klassenstufe

Tags: Anhalteweg, Funktionsgleichung, Umstellung

Ewa111 aktiv_icon

14:38 Uhr, 11.08.2013

Hallo,

ich habe folgende Frage an euch:

Der Anhalteweg beschreibt das Auftreten des Hindernisses bis zum Sitlstand eines Fahrzeuges (Anhalteweg= Reaktionsweg

+

Bremsweg).

Bremsweg= Geschwindigkeit/10

\cdot

Geschwindigkeit/10
Reaktionsweg= Geschwindigkeit/10

\cdot 3

Dazu habe ich folgende Formel augestellt:

f (v) = {(\frac{v}{10})}^{2} + \frac{v}{10} \cdot 3

Nun lautet die Frage, wie schnell ein Fahrzeug

max

. sein darf, wenn ein Hinderniss

100 m

vor dem Fahrzeug auftritt...

Ich habe keine Idee wie ich die Formel umstellen könnte, um auf die Lösung zu kommen, ich hoffe deshalb ihr könnt mir weiterhelfen ;-)

Vielen Dank im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Hyperbeln
Potenzfunktionen - Fortgeschritten

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Stephan4

14:51 Uhr, 11.08.2013

Ein Blick auf die Formel:
Was rechnet sie eigentlich aus? Was ist das

f (x)

?
Was aus der Angabe kann man in die Formel einsetzen?
Was in der Formel soll ausgerechnet werden?

anonymous

14:52 Uhr, 11.08.2013

Hallo Ewa !

Ganz einfach:

Du dividierst

100 m

durch Deinen Funktionstherm. Heraus kommt das gesuchte

v

.

Du kannst aus Deiner Funktionsgleichung allein nicht entnehmen, welche Geschwindigkeit höchstens bei vorhandenen

100

Metern gefahren werden darf. Die Formel sagt Dir nur ganz allgemein, wieviel Meter werden gebraucht, bei einem bestimmten V. Logisch ? Einverstanden ?

Wenn Du jetzt wissen willst, welches

v

bei

100

Metern möglich ist, dann dividierst Du eben diese

100

Meter durch den Funktionstherm und löst nach

v

auf. Heraus kommt das

v,

das gerade noch möglich ist.

Gruß Mathias

Stephan4

15:02 Uhr, 11.08.2013

Matze,

"Du dividierst

100 m

durch Deinen Funktionstherm. Heraus kommt das gesuchte

v

."

In welcher Dimension steht diese Rechnung?

\frac{m}{s}

? Dann wäre der Funktionsterm eine Zeit. Ist das so?

Ewa111 aktiv_icon

15:15 Uhr, 11.08.2013

@Matze2020

Ich verstehe nicht genau, was du meinst. Wie soll ich die

100 m

denn durch die Funktionsgleichung dividieren? Was genau würde mir das bringen? Tut mir leid, wenn ich etwas dumm rüber komme, aber Mathe war leider noch nie meine Stärke

: (

anonymous

15:18 Uhr, 11.08.2013

Hallo Ewa !

Keine Panik. Mache es so wie es Stephan sagt...er hat schon recht. Wenn man den von mir vorgeschlagenen Weg nimmt, erhält man die Zeit und aus der muss man dann nochmal weiterrechnen.

Stephans Gedanke ist deshalb erst einmal besser, so lange die Frage nur ist, wie schnell das Auto höchstens sein darf....aber meistens kommt dann noch die Frage

b,

wieviel Zeit der Fahrer hat usw....

Deswegen nochmals die Frage von Stephan, die schon auf das richtige abzielt. Vergiss erst einmal, was ich geschrieben habe:

Was sind die y-Werte Deiner Funktion ? Für was stehen die Y-Werte ?

Erkläre !

anonymous

15:31 Uhr, 11.08.2013

Keine Idee Ewa ?

Stephan4

15:40 Uhr, 11.08.2013

Ewa,
was ich vorher geschrieben habe, soll eine Anleitung zur Lösung sein. Allerdings mit einem kleinen Fehler. Es soll natürlich

f (v)

statt

f (x)

sein. Und das ist Deine Formel. Die ist ja gut. Und da geht es weiter:

Ein Blick auf die Formel: (Fehler nun korrigiert)
Was rechnet sie eigentlich aus? Was ist das

f (v)

?
Was aus der Angabe kann man in die Formel einsetzen?
Was in der Formel soll ausgerechnet werden?

Ewa111 aktiv_icon

16:02 Uhr, 11.08.2013

"Ein Blick auf die Formel:
Was rechnet sie eigentlich aus?"
Meine Formel rechnet den Anhalteweg aus, sprich einmal die Strecke, die das Fahrzeug vom Beginn der Bremsung bis zum Anhalten zurücklegt und die Reaktionszeit des Fahrers, die beachtet werden muss.

"Was ist das f(v)?"
Das

v

steht in dem Fall für die Geschwindigkeit

"Was aus der Angabe kann man in die Formel einsetzen?"
Ich könnte die

100 m

in die Formel einsetzen. Hatte auch schon überlegt, die beiden 10ner Werte aus der Funktionsgleichung nach vorne zu holen, aber ich weiß hier noch nicht, was mir das bringen sollte.

"Was in der Formel soll ausgerechnet werden?"
Die Geschwindigkeit

anonymous

16:10 Uhr, 11.08.2013

Du bist auf dem richtigen Weg Ewa, aber es fehlen noch ein paar kleine Details.

Also ich helfe Dir jetzt mal, wie Du jetzt denken musst:

Wir sind uns einig, dass der Bremsweg des Autos von seiner Geschwindigkeit abhängt. Stimmts ? Gut !

Das heißt, für jede Geschwindigkeit ergibt sich auch ein eigener Bremsweg.

O . K

. ?

Deshalb ist der Bremsweg von

v

abhängig. Ändert sich

v,

dann ändert sich auch der Bremsweg.

O . K

. ?

Weil das so ist (Bremsweg hängt von

v

ab und für jedes

v

ein anderer Bremsweg), hast Du Dir eine Funktion "gebastelt". Genau dafür ist die nämlich da :-)

So: Jetzt hast Du natürlich bemerkt, dass der Bremsweg eine Summe aus der Reaktionszeit und dem Bremsvorgang selbst ist. Deshalb hat Deine "Bremswegfunktion" auch zwei Summanden.

Also hat Deine Funktion diese Form:

Bremsweg = Wegstrecke des Bremsvorgangs

+

Wegstrecke durch die Reaktionszeit

f (v) =

Wegstrecke des Bremsvorgangs

+

Wegstrecke durch die Reaktionszeit

Kommst Du noch mit ?

Ich hoffe doch !

Also ist

f (v)

genau der Bremsweg. Das war es, worauf Stephan hinaus wollte.

Also setzt Du für

f (v)

die

100 m

ein.

Damit hast Du eine Gleichung dastehen, die so aussieht:

100 m =

Wegstrecke des Bremsvorgangs

+

Wegstrecke durch die Reaktionszeit

Und diese Gleichung wird jetzt nach allen Regeln der Algebra solange umgeformt, bis

v

alleine dasteht. Dann weiß man, was

v

allerhöchstens sein darf.

Einverstanden ?

Matze

Stephan4

16:31 Uhr, 11.08.2013

Ewa,
die Hinweise kreisen um die Lösung. Deine Gedanken ebenfalls.

Was rechnet die Formel aus? - hast Du richtig erkannt.

"Was aus der Angabe kann man in die Formel einsetzen? - Ich könnte die

100 m

in die Formel einsetzen. "

Gut erkannt. Tu es.

Ewa111 aktiv_icon

17:09 Uhr, 11.08.2013

Danke für eure Tipps ;-). Ich bin gerade dabei, das Ganze auszurechnen. Wäre nett von euch noch mal in ca. einer Stunde vorbei zuschauen, wenn ich meine Lösung präsentiere...

Vielen Dank schon mal ;-)

Ewa111 aktiv_icon

17:27 Uhr, 11.08.2013

Eine kurze Frage:
Ist mein erster Schritt soweit richtig?

100 = {(\frac{v}{10})}^{2} + \frac{v}{10} \cdot 3 |

durch

10

10 = v^{2} + v \cdot 3

anonymous

17:34 Uhr, 11.08.2013

Das geht so leider nicht Ewa. Dein Ansatz ist richtig, die Umsetzung aber falsch.

Also:

100 =

(v:10)²

+ (3 v : 10)

\Rightarrow 100 =

v²:100

+ 3 v : 10

\Rightarrow 100 =

v²:100

+ 30 v : 100

\Rightarrow 100 \cdot 100 =

v²

+ 30 v

\Rightarrow 10000 =

v²

+ 30 v

\Rightarrow 0 =

v²

+ 30 v - 10000

Jetzt in die Mitternachtsformel reingehen und die beiden Werte berechnen. Der negative Wert für

v

interessiert uns nicht, denn das Auto fährt ja nicht rückwärts und außerdem dürfen wir diese Funktion auch nur für die vorwärts gerichtete Geschwindigkeit, also für die positiven

v

nehmen, weil sie für die negativen nicht stimmt...

Gruss

Matze

Ewa111 aktiv_icon

15:42 Uhr, 12.08.2013

@Matze2020

Bist du sicher, dass der erste Schritt in deiner Rechnung richtig ist? Denn die eigentliche Formel lautet ja:

{(\frac{v}{10})}^{2} + \frac{v}{10} \cdot 3

. Du hast nun aber die Formel umgewandelt in

{(\frac{v}{10})}^{2} + (3 \frac{v}{10})

. Müsstest du die

10

nicht auch noch mal drei nehmen, sodass es

{(\frac{v}{10})}^{2} + (\frac{3^{v}}{30})

heißt?

Ansonsten kann ich deinen Lösungsweg nachvollziehen und bedanke mich ganz herzlich für deine Hilfe :-).

Edit: Ach quatsch, mir fällt gerade auf, dass man bei einem Bruch ja nur den oberen Wert mal nehmen darf :-D) ;-)

anonymous

15:51 Uhr, 12.08.2013

Schön, dass sich die Dinge von selbst klären :-)

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