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Gebrochenrationale Funktion - Gleichung aufstellen

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Funktion, Gebrochen-rationale Funktionen, Gleichungen, Nullstellen

Luna2007 aktiv_icon

12:02 Uhr, 24.11.2009

Hallo, ich beiße mir schon seit 3 Stunden die Zähne an folgender Aufgabe aus:

Vom Graphen einer gebrochenrationalen Funktion seien alle Nullstellen

(x 0)

und alle Stellen für

x

an denen Pole (xp) vorkommen, gegeben. Außerdem ist jeweils ein Punkt des Graphen bekannt. Stellen Sie die Gleichung der Funktion auf.

x 01 = 2

x 02 = 3

= 4

P 1 (\frac{0}{- 3})

Leider habe ich überhaupt keinen Lösungsansatz und kann im Internet nix finden, bin echt verzweifelt!! Und von dieser Hausaufgabe muss ich bis morgen noch 4 weitere solcher Aufgaben lösen. Wer kann mir helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Einführung Funktionen
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

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Edddi aktiv_icon

12:26 Uhr, 24.11.2009

..."EINE" Polstelle weist auf einen linearen Nenner der gebr.-rat. Funktion hin. An dieser Stelle ist die Funtion nicht definiert.

x_{p} = 4

heißt also das der Nenner

(x - 4)

ist, da

x_{p} - 4 = 0

wäre, und durch 0 nicht dividiert werden darf.

Nullstellen existieren immer dort, wo der Nenner 0 wird.

Nun zum Zählerterm:

Die Funktion im Zähler hat die Form

(x - 2) \cdot (x - 3),

denn so ist das Produkt beider natürlich an

x_{01} = 2

und an

x_{02} = 3

eben Null.

Die Funktion könnte also so aussehen:

\frac{(x - 2) \cdot (x - 3)}{x - 4} = \frac{x^{2} - 5 \cdot x + 6}{x - 4}

...nun muss aber auch noch der gegebene Punkt

P (0, - 3)

auf der Funktion liegen:

Das Einsetzen von

x = 0

liefert aber

- \frac{6}{4} .

Das heißt, das wir die Zähler-Funkktion noch mit einem Faktor strecken müssen...dadurch bleiben die Nullstellen ja erhalten, da

k \cdot 0 = 0

ist.

Der Streckeungsfaktor ergibt sich aus unserem Ergebnis für

x = 0,

also aus

- \frac{6}{4}

und dem vorgegebenen y-Wert des Punktes

P .

k

wird also so ermittelt:

k \cdot - \frac{6}{4} = - 3

k = 2

Somit haben wir also fogende Funktion:

\frac{(x - 2) \cdot (x - 3)}{x - 4} = \frac{x^{2} - 5 \cdot x + 6}{x - 4}

wird zu

\frac{k \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)}{x - 4} = \frac{k \cdot (x^{2} - 5 \cdot x + 6)}{x - 4}

= \frac{2 \cdot x^{2} - 10 \cdot x + 12}{x - 4}

...auch die Probe dürfte nun das richtige Ergebnis liefern.

...mit den anderen Aufgaben verfährst du analog.

...sollte dir ein Schritt unklar sein, dann melde dich einfach nochmal...

;-)

Luna2007 aktiv_icon

16:15 Uhr, 24.11.2009

Hallo Eddi,

Zunächst erstmal vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Ich bin mir nicht sicher ob ich alles ganz genau verstanden habe.

Wie bist Du auf K = 2 gekommen, wie ist der Rechenweg?

Im folgenden hab ich mal die nächste Aufgabe und was ich gerechnet habe.

x¹= 1

x²= -2

dann gibts jetzt zwei Polstellen

xp¹= -1

xp²= 2

und der Punkt ist P¹(0/0,5)

Also bei 2 Polstellen hab ich gedacht dann hat der Nenner die Form (x + 1)*(x - 2)

(x - 1)*(x + 2) also x²+ x - 2

(x + 1)*(x - 2) x² - x - 2

Einsetzen von x=0 ergibt bei mir -1. Aber was mache ich jetzt mit dem Punkt (0/0,5)?

Loobia aktiv_icon

16:32 Uhr, 24.11.2009

sorry, dass ich mich einmiss, weiss nicht ob Edddi on ist, deswegen schreib ich mal

also wenn du

x = 0

einsetzst, bekommst du

- 1

raus
(habe es nicht nach gerechnet)

also muss

k \cdot - 1 = 0,05

ergeben.

k = - 0,05

Edddi aktiv_icon

08:08 Uhr, 25.11.2009

. .

. du hast also nur 2 Polstellen gegeben und den Punkt, korrekt?

damit könnte der Zähler durch alle möglichen Funktionen beschrieben werden,

z . B

. 1 oder 4 oder

x^{2} + 3

usw.

Somit wäre deine gebr. rat. Fkt:

y = k \cdot \frac{f (x)}{(x + 1) \cdot (x - 2)}

f (x)

könnte 1 sein oder

x^{2} + 2

oder sonstewas, also fehlt dir noch irgendwas,

z . B

. Nullstellen der Funktion oder so.

Beispiel 1 mit

f (x) = 1 :

y = \frac{k}{(x + 1) \cdot (x - 2)}

Punkt einsetzen liefert:

\frac{1}{2} = \frac{k}{- 2}

und somit

k = - 1

Ergebniss wäre:

y = - \frac{1}{(x + 1) \cdot (x - 2)}

Beispiel 2 mit

f (x) = x^{2} + 2 :

y = k \cdot \frac{x^{2} + 2}{(x + 1) \cdot (x - 2)}

Punkt einsetzen liefert:

\frac{1}{2} = k \cdot \frac{2}{- 2}

und somit

k = - \frac{1}{2}

Ergebniss wäre:

y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} + 2}{(x + 1) \cdot (x - 2)}

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