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Grenzwert von sin(e^x)/e^x

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Bruchrechnung, Eulerische Zahl, Grenzwert, lim, Sinusfunktion

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22:47 Uhr, 01.02.2023

Hallo,

ich habe eine Frage zu der oberstehende Funktion. Ich möchte den Grenzwert von

x

strebt nach plus und minus unendlich berechnen. Ich bin hier aber ein bisschen überfragt.

Mein Ansatz wäre für

+

unendlich:

Das ich die Funktion umschriebe in

sin (e^{x}) \cdot e^{- x}

und da

e^{- x}

für

x

nach +unendlich nach 0 strebt strebt dann die ganze Funktion nach 0

Bei minus endlich hätte ich die Funktion auch wie oben ungeschrieben und das gleiche gemacht, sodass sie dann auch nach 0 strebt.

Ich habe mir dann aber mal die Funktion vom Computer anzeigen lassen und man sieht dass es in Richtung - unendlich die Funktion nach 1 strebt.

Wie kommt man darauf?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Respon

22:59 Uhr, 01.02.2023

lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0

lim_{x \to - \infty} \frac{sin (e^{x})}{e^{x}} = lim_{y \to 0} \frac{sin (y)}{y} = . .

.
Der letzte Grenzwert sollte bekannt sein.

( Und überlege dir für

lim_{x \to + \infty} . .

. eine etwas bessere Argumentation, )

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23:31 Uhr, 01.02.2023

Dann ist es ja

\frac{0}{0}

dann kann ich l‘Hopital anwenden und bekomm mit

x

strebt nach

+

unendlich für

cos (x) = 1

raus?

Und für +unendlich passt meine Begründung dafür dann auch?

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23:31 Uhr, 01.02.2023

Dann ist es ja

\frac{0}{0}

dann kann ich l‘Hopital anwenden und bekomm mit

x

strebt nach

+

unendlich für

cos (x) = 1

raus?

Und für +unendlich passt meine Begründung dafür dann auch?

Respon

23:34 Uhr, 01.02.2023

" Und für +unendlich passt meine Begründung dafür dann auch? "
Kannst du das mal explizit ausführen.

lim_{x \to + \infty} \frac{sin (e^{x})}{e^{x}} = . .

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23:42 Uhr, 01.02.2023

Für Limes

x

strebt nach plus unendlich hab ich, gemeint, dass dann die Funktion nach 0 strebt, da man ja den Bruch umschreiben kann.

e^{- x}

strebt ja bei

+

unendlich nach 0. Dann hab ich noch das multipliziert mit

sin (e^{x})

. Und bei diesem Term bin ich mir unsicher, weil ich gesagt hätte dieser würde nach plus unendlich streben aber das ist dann egal, weil wir es mit 0 multiplizieren. Oder gibt es bei Sinus Funktionen Ausnahmen, weil sinus ja eigentlich zwischen

- 1

und 1 oszilliert.

Respon

23:45 Uhr, 01.02.2023

Was ist

lim_{x \to + \infty} sin (e^{x})

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23:51 Uhr, 01.02.2023

e^{x}

nach unendlich strebt, kann man den limes dann von

sin (e^{x})

nicht definieren?

Respon

23:53 Uhr, 01.02.2023

Korrekt !
Damit ist also L'Hospital nicht möglich.
Aber welche andere wichtige Eigenschaft hat die

s i n -

Funktion ?

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23:56 Uhr, 01.02.2023

Periodisch, und es gilt:

- 1

kleiner gleich

y

kleiner gleich 1

(Sorry, habs mit den Zeichen hier noch nicht ganz den Dreh raus)

Respon

00:03 Uhr, 02.02.2023

Ja, die

s i n -

Funktion ist beschränkt, kann also nur Werte zwischen

- 1

und

+ 1

annehmen.
Wenn diese Werte mit einem Faktor ( siehe deine Notation ganz oben ) multipliziert wird, der gegen 0 strebt, so strebt das Produkt gegen 0.

Oder

Zähler beschränkt, Nenner

\to + \infty . .

. Wert des Bruches

\to 0

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00:04 Uhr, 02.02.2023

Okay, vielen Dank für deine Mühe. Ich hab es jetzt verstanden :-)

Respon

00:05 Uhr, 02.02.2023

Und "Häkchen" machen !

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