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Harmonische Schwingung in Komplexen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Cosinus, Komplexe Zahlen, Physik, Schwingung, Sinus

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20:57 Uhr, 30.04.2017

Hallo.
Ich bitte um Mithilfe bei folgender Aufgabe:

Eine harmonische Schwingung einer zeitabhängigen Größe

f (t)

wird im allgemeinen durch folgenden Verlauf beschrieben:

f (t) = x_{0} c o s (ω t + φ)

Wobei

x_{0}

die Amplitude,

ω

die Kreisfrequenz und

φ

die Phase der Schwingung bezeichnet.

a) Zeigen Sie, dass sich eine harmonische Schwingung

f (t) = x_{0} c o s (ω t + φ)

in einen Sinus- und einen Kosinus-Anteil zerlegen lässt:

f (t) = x_{1} c o s (ω t) + x_{2} s i n (ω t)

Drücken Sie

x_{1}

und

x_{2}

als Funktion von

x_{0}

und

φ

aus.

x_{1}

und

x_{2}

bezeichnet man auch als in-phase- und out-of-phase-Anteile. Warum?

b) Eine weitere Möglichkeit, eine harmonische Schwingung darzutellen, ist die Verwendung der komplexen Schreibweise:

R e {\hat{z_{0}} e^{- i ω t}}

wobei

\hat{z_{0}} = a + i b \in ℂ

.
Wie lautet der Zusammenhang zwischen

\hat{z_{0}}

und

x_{1}

x_{2}

x_{1}

und

x_{2}

bezeichnet man hier auch als Real- und Imaginärteil. Warum?

c) Zeigen Sie folgenden Zusammenhang zwischen

\hat{z_{0}}

und

x_{0}

φ

\hat{z_{0}} = x_{0} e^{- i φ}

Betrag

x_{0}

und Phase

φ

bezeichnet man auch als Polarkoordinaten. Warum?

Dashier ist meine bisherige Lösung dazu:

a)

f (t) = x_{0} c o s (ω t + φ)

mit Additionstheorem:

c o s (α + β) = c o s (α) c o s (β) - s i n (α) s i n (β)

folgt:

\to f (t) = x_{0} (c o s (ω t) c o s (φ) - s i n (ω t) s i n (φ))

= x_{0} c o s (ω t) x_{0} c o s (φ) - x_{0} s i n (ω t) x_{0} s i n (φ)

mit

x_{1} = x_{0} c o s (φ)

und

x_{2} = - x_{0} s i n (φ)

folgt:

\to f (t) = x_{1} c o s (ω t) + x_{2} s i n (ω t)

Stimmt das?

Warum man das in-phase und out-of-phase nennen soll weiß ich nicht...

Bei der b) weiß ich gar nicht wie ich da herangehen soll.

Wie man allgemein die harmonische Schwingung ins Komplexe überführen kann, habe ich mir in Skripten etc. natürlich schon angesehen, aber bei diesem speziellen Fall hier mit

x_{1}

und

x_{2}

komme ich nicht weiter.

Es würde mich freuen wenn sich jemand meiner erbarmt und mir etwas helfen möchte :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

13:21 Uhr, 01.05.2017

Hallo
für

b

nur die Darstellung

e^{i \cdot s} = = cos (s) + i \cdot sin (s)

damit

e^{- i \cdot s} = = cos (s) - i \cdot sin (s)

mit

s \in ℝ

benutzen und

z_{0} = a + i \cdot b

einsetzen
entsprechend für

c

Gruß ledum

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14:59 Uhr, 01.05.2017

Danke für die Hilfe aber so richtig verstehe ich immer noch nicht was ich tun soll.

Für was steht denn das s in deiner Antwort?
Soll das einfach nur allgemeingültig für einen Winkel stehen, in diesem Fall hier z.B. für

s = ω t

?
Und wie setze ich

\hat{z_{0}} = a + i b

in die Gleichung ein?

Ich habe das bis jetzt so interpretiert:

-

\hat{z_{0}}

ist die Länge des Zeigers und daher gilt:

\hat{z_{0}} = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}

mit

e^{i ω t} = c o s (ω t) + i s i n (ω t)

\to f (t) = \hat{z_{0}} e^{i ω t}

Der Realteil ist:

R e {\hat{z_{0}} e^{i ω t}} = x_{1} c o s (ω t)

, da der Cosinus auf der reellen Achse (x) liegt
und der Imaginärteil ist:

I m {\hat{z_{0}} e^{i ω t}} = x_{2} i s i n (ω t)

, da der Sinus auf der imaginären Achse (y) liegt

Das fühlt sich aber irgendwie nicht richtig an..

ledum aktiv_icon

19:42 Uhr, 01.05.2017

Hallo
dein

z_{0}

(mit oder ohne Dach) ist KEIN Betrag, da steht doch ausdrücklich

z_{0} \in ℂ

z_0=a+ib
wie kommst du denn auf Länge?
(das Dach lasse ich weg. da es ja nach der Def. auch unnötig ist)
also hast du Re(

(a + i \cdot b) \cdot (cos (ω \cdot t) - i \cdot sin (ω \cdot t)))

jetzt das ausmultiplizieren und dann den Realteil nehmen gibt dir den Zusammenhang zwischen

a, b

und

x_{1}, x_{2}

.
Gruß ledum

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00:22 Uhr, 02.05.2017

Ich dachte es wäre der Betrag, da in der Eulerform doch der Betrag des Zeigers als Amplitude vor die e-Zahl geschrieben wird? Anscheinend habe ich das falsch verstanden...

Hier ist meine Rechnung streng nach deiner Vorschrift: (hoffe ich zumindest :-) )

R e {((a + i b) (c o s (ω t) - i s i n (ω t))}

= R e {a c o s (ω t) - a i s i n (ω t) + i b c o s (ω t) - i^{2} b s i n (ω t)}

= R e {a c o s (ω t) - a i s i n (ω t) + i b c o s (ω t) - (- 1) b s i n (ω t)}

= R e {a c o s (ω t) - a i s i n (ω t) + i b c o s (ω t) + b s i n (ω t)}

der Realteil sind die Ausdrücke ohne i: (so nehme ich an)
=>

f (t) = a c o s (ω t) + b s i n (ω t)

in diesem Fall wäre:

a = x_{1}

und

b = x_{2}

richtig?

ledum aktiv_icon

12:32 Uhr, 02.05.2017

Hallo
richtig
wenn nicht Betrag da steht, ist es auch keiner. Man muss Aufgaben wirklich genau lesen, hier stand ja z_0=a+ib, natürlich kann man auch schreiben

z_{0} = | z_{0} | \cdot e^{i \cdot φ}

was hier nicht viel nützt.
Gruß ledum

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11:04 Uhr, 03.05.2017

Gut, nochmals vielen Dank für deine Hilfe ledum!
Ich schließe den Thread dann jetzt, aber poste trotzdem noch mein Ergebnis zur c) falls mal jemand die gleiche Aufgabe googelt :-)

\hat{z_{0}} = x_{0} e^{- i φ}

a + i b = = x_{0} e^{- i φ}

a + i b = x_{0} (c o s (φ) - i s i n (φ))

a + i b = x_{0} c o s (φ) - x_{0} i s i n (φ)

mit

a = x_{1} = x_{0} c o s (φ)

und

b = x_{2} = - x_{0} s i n (φ)

folgt:

x_{0} c o s (φ) - x_{0} i s i n (φ) = x_{0} c o s (φ) - x_{0} i s i n (φ)

q.e.d.

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11:07 Uhr, 03.05.2017

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