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Herleitung der Integralformel und Erklärung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Herleitung, Integral

verzweifelt90 aktiv_icon

17:51 Uhr, 19.01.2009

HILFE!!! Ich brauche dringend die Herleitung für die Formel :

Π \cdot \int {(f (x))}^{2} d x

Ich hab etwas im Internet gefunden, aber ich muss darüber ein Referat halten und es erklären können, aber ich verstehs ja selbst nicht:(
Es steht auch immer dieses Zeichen dabei sum was bedeutet das eigentlich?
Brauche dringend Hilfe!
Lg verweifelt90

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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π

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Hagen

17:55 Uhr, 19.01.2009

Kannst du ein wenig mehr schreiben?

Was genau sollst du herleiten ? Das steht ein Produkt-Zeichen am Anfang, das so aber keinen Sin macht. Hast du die Internet-Seite, wo die Lösung beschrieben wird, vielleicht wird so das Problem klarer?

verzweifelt90 aktiv_icon

18:09 Uhr, 19.01.2009

Ja klar Entschuldigung;-),
also es geht darum das Volumen von Rotationskörpern zu berechnen. Des funktioniert ja mit diesen Unter- und Obersummen. Jedoch steht in meinem Mathebuch nur: Wenn man die Ober- und Untersumme gegen unendlich streben lässt, also ihren Grenzwert berechnen will strebt diese Summe gegen das Integral

Π \int {(f (x))}^{2} d x

Und meine Lehrerin hat aber gemeint ich soll das Integral herleiten:(
Hier habe ich auch eine Seite gefunden:
http//sites.inka.de/picasso/Voelker/rauminh.htm#Herleitung%20der%20Formel
lg verzweifelt90

Hagen

22:10 Uhr, 19.01.2009

Ok, dann mal eins nach dem anderen (ich würde keine Ober- und Untersummen, sondern Zwischensummen nutzen, das vereinfacht die Sache ungemein).
Das Summenzeichen: Das ist eine verkürzte Schreibweise. Anstelle von

a_{1} + a_{2} + a_{3}

kann man

\sum_{i = 1}^{3} a_{i}

schreiben. Damit ist es auch möglich, beliebig viele Summanden oder sogfar unendlich viele zu notieren.
Die Idee des Integrales ist, eine (belieibige) Funktion durch eine Stufenfunktion anzunähern,

d . h

. eine Funktion, die für jedes Interval konstant ist. Wenn man die Intervalle nur klein genug wählt, erhalt man die gesuchte Funktion. Nun ist das Integral (die Fläche unter der Funktion) sehr einfach zu bestimmen: Intervalbreite* Höhe. Wenn jedes Intergral gleich breit ist

(\frac{1}{n}) -

wir gehen hier immer vom Interval

(0,1)

aus, dann ist das recht einfach zu berechnen statmath.wu-wien.ac.at~leydold/MOK/HTML/node116.html):

\frac{1}{n}

(Breite)*

f (\frac{1}{n})

für das i-te Interval. Wenn wir das Interval in drei Teile teilen

(n = 3)

heißt das

\frac{1}{3} \cdot f (0) + \frac{1}{3} \cdot f (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot f (\frac{2}{3})

oder in unserer Schreibweise

\sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{3} \cdot f (\frac{i}{3}) .

Für 5 Intervalle heißt das dann

\sum_{i = 1}^{5} \frac{1}{5} \cdot f (\frac{i}{5})

oder allgemein

\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n} \cdot f (\frac{i}{n})

. Wenn jetzt

n

unendlich groß wird, haben wir das eigneliche Integral. Das heißt dann (jetzt nicht mehr mit Interval

(0,1),

sondern

(a, b) : lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{b - a}{n} \cdot f (\frac{b - a}{n}) = \int_{a}^{b} f (x) d x

Soviel zur Einführung.
Jetzt zu deiner Aufgabe. Bisher haben wir auf dem Integralweg das Intergal durch Rechtecke angenähert. Jetzt geht es aber um Rotationskörper, also müssen wr Zylinderscheiben nehmen. Und da gilt, das Volumen ist

π \cdot r^{2} \cdot h (r

ist der Durchmesser und

h

die Höhe des Zylinders).
Hier haben wir

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} π \cdot r^{2} \cdot h = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} π \cdot f^{2} (\frac{b - a}{n}) \cdot \frac{b - a}{n} = π lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f^{2} (\frac{b - a}{n}) \cdot \frac{b - a}{n} = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

Nach dem ersten Gleichheitszeichen habe ich die Eleemnte für den Zylinder eingesetzt. Da

π

in jeder Summe gleich ist, habe ich es vor die Summe gezogen. Im letzten Teil habe ich einfach die Formel von oben benutzt.

verzweifelt90 aktiv_icon

10:33 Uhr, 20.01.2009

Vielen Dank:-)

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