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Herleitung von cos(z)+sin(z)

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Cosinus, Folgen und Reihen, Komplexe Zahlen, Sinus

tim602 aktiv_icon

13:27 Uhr, 24.09.2017

Suche nach einer Herleitung von

c o s (z) := \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2}

Im Internet habe ich bisher nur die Herleitung davon falls man

e^{i z}

und

e^{- i z}

mit

e^{i z} = c o s (z) + i s i n (z)

und

e^{- i z} = c o s (z) - i s i n (z)

als ein Art kleines Lgs schreibt und so nach cos(z) bzw sin (z) auflöst. ( www.youtube.com/watch?v=CjQTWtW_x9o

An sich ist diese Herleitung klar. Doch verstehe ich nicht wirklich wie man ausgehend von der Potenzreihe cos(z):=

\frac{(- 1)^{k} (z)^{2 k}}{2 k!}

nun auf das obige Ergebnis kommen soll ohne solche "Tricks" wie oben zu verwenden. Wäre dankbar, falls jemand eine andere Herleitung für dieses Problem kennt.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

abakus

13:40 Uhr, 24.09.2017

Wenn jemand nur reelle Zahlen kennt (und in diesem Bereich die Potenzreihe von cos(x)), dann wird er wohl NIE auf die genannte Darstellung mit komplexen Potenzen von e kommen.