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Höhen von Kreissegmenten berechnen

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Sonstiges

Tags: Bogen, Kreis, Sehne, Sonstiges, Winkel

 
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Rollo

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14:18 Uhr, 29.06.2009

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Hallo,
Gegeben ist ein Tor, welches im oberen Teil einen Kreisbogen aufweist. Bekannt sind: Die Breite des Tores B, die Höhe des unteren Teils Hr und die Gesamthöhe in der Mitte Hg. Somit ist das Tor am linken und rechten Rand Hr hoch und in der Mitte Hg. Nun sollen n Stäbe mit gleichem Abstand in den Bogen oben eingesetzt werden.
Frage: Wie hoch sind die Stäbe?
Der Abstand der Stäbe ergibt sich aus B und n, ist B=9m und n=2 (zwei Stäbe) so ist der Abstand bn+1=93=3m.
Interessant ist nun, wie sich die Höhe der beiden Stäbe rechnerisch ermitteln läßt.
Der Bogen bildet ja nicht notwendigerweise einen vollen Halbkreis. Vielmehr ist B die Länge der Sehne eines zu bestimmenden Kreises.
Die mittlere (maximale) Bogenhöhe ergibt sich aus Hg - Hr. (Hb)
Hieraus ergibt sich dann ein rechtwinkliges Dreieck, aus dem sich ein Winkel Alpha ermitteln ließe.
Wenn ich es richtig sehe könnte man auf diese Weise den Radius des Vollkreises beschreiben, zu dem der Bogen einen Ausschnitt darstellt.
Nur, Wie kommt man nun zu den Höhen einzelner Teilabschnitte eben dieses Kreises d.h. zu den Höhen der Stäbe?
TIA, Roland



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
Edddi

Edddi aktiv_icon

14:50 Uhr, 29.06.2009

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...ich würd' den Kreisbogen als Funktion darstellen wobei der linke obere Punkt von Hr auf dem Nullpunkt liegt.

Die allgemeine Kreisgleichung ist: (x-a)2+(y-b)2=r2

a und b sind die Verschiebungen...unser Kreis muss vom Ursprung also um B2 nach rechts verschoben werden, also: a=B2

Die Y-Verschiebung beträgt r-(Hg-Hr)=r-δh, somit: b= delth -r

Somit haben wir allgemein:

(x-B2)2+(y-δh+r)2=r2

(y-δh+r)2=r2-(x-B2)2

y-δh+r=r2-(x-B2)2

...wir benötigen hier nur die pos. Wurzelwerte

y=-r+δh+r2-(x-B2)2

y=-(r-δh)+r2-(x-B2)2

nachdem wir nun r bestimmt haben, müssen wir für x nur noch die Werte 1⋅Bn+1,2⋅Bn+1,...,n⋅Bn+1 einsetzen.

Den Radius bestimmen wir über den Pythagoras:

r2=(B2)2+(r-δh)2

r2=(B2)2+r2-2⋅r⋅δh+δh2

0=(B2)2-2⋅r⋅δh+δh2

2⋅r⋅δh=(B2)2+δh2

r=(B2)2+δh22⋅δh=B28⋅δh+δh2

...dies können wir auch noch oben in die Kreisgleichung für r einsetzen:

y=-(B28⋅δh+δh2)+δh+(B28⋅δh+δh2)2-(x-B2)2

...sieht nach 'ne Menge Rechenarbeit aus, aber du kannst dier die Arbeit aus Symmetriegründen halbieren, da y(1⋅Bn+1)=y(n⋅Bn+1) und y(2⋅Bn+1)=y((n-1)⋅Bn+1) ist...usw.

(Außerdem wird durch konkrete Werte die Funktion doch ordentlich vereinfacht, Bsp:

B=9,Hg=10,Hr=8, dann ist δh=2 und die Funktion sieht dann so aus:

y=-(9716)+2+(9716)2-(x-4,5)2

y=-(6516)+(13925256)+9⋅x-x2

y=-(6516)+4225256+9⋅x-x2

...also garnicht so wild)

;-)