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Integral, minimale Fläche

Schüler Berufliches Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Fläche, Integral, Konstante, Minimum

BlargImDed aktiv_icon

18:36 Uhr, 27.09.2010

Hi, ich habe eine Frage bezüglich dieser Aufgabe.

Gesucht ist das

a,

das die kleinste Fläche mit der x-Achse einschließt, mit

a > 1

f (x) = a x - (1 - a) x^{2}

\Rightarrow x_{1} = \frac{a}{1 - a}

\Rightarrow x_{2} = 0

\int_{0}^{\frac{a}{1 - a}} (a x - (x^{2} - a x^{2}) d x

\Rightarrow {[\frac{a}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{a}{3} x^{3}]}_{x = 0}^{x = (\frac{a}{1 - a})}

= {[\frac{a}{2} x^{2} + \frac{a - 1}{3} x^{3}]}_{x = 0}^{x = (\frac{a}{1 - a})}

= \frac{a}{2} \cdot {(\frac{a}{1 - a})}^{2} + \frac{a - 1}{3} \cdot \frac{a^{3}}{{(1 - a)}^{3}} |

Kürzen

\Rightarrow \frac{a}{2} \cdot {(\frac{a}{1 - a})}^{2} + \frac{a^{3}}{3 {(1 - a)}^{2}}

= \frac{a^{3}}{2 {(1 - a)}^{2}} + \frac{a^{3}}{3 {(1 - a)}^{2}} |

Ausklammern

= \frac{a^{3}}{{(1 - a)}^{2}} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})

= \frac{5 a^{3}}{6 {(1 - a)}^{2}}

Hier komme ich nicht mehr weiter. Ich vermute ich habe bereits einen Fehler eingebaut.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

mokaan aktiv_icon

22:21 Uhr, 27.09.2010

Hi!

Deine Rechnung sieht gut aus, hab es eben zweimal nachgerechnet, finde aber keinen Fehler!

Dir fehlt jetzt nur noch ein kleiner Schritt. Du hast ja jetzt eigentlich deine Fläche schon berechnet, jedoch immer noch abhängig von

a

. Fass doch jetzt deine Fläche als Funktion von

a

auf!

A (a) = \frac{5 a^{3}}{6 (1 - a)^{2}}

und bestimme dafür doch mal das Minimum!

Grüße
Mokaan

Yokozuna aktiv_icon

22:49 Uhr, 27.09.2010

Hallo,

beim Kürzen hat sich doch noch ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Du hast

(a - 1)

im Zähler mit

(1 - a)

im Nenner gekürzt. Die beiden Ausdrücke unterscheiden sich aber im Vorzeichen. Um wirklich kürzen zu können, muß man

z . B

. den Zähler als

- (1 - a)

schreiben und nach dem Kürzen bleibt dann das

- 1

übrig. Das führt dann dazu, daß man weiter unten dann

(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{6}

stehen hat.

Viele Grüße
Yokozuna

BlargImDed aktiv_icon

18:42 Uhr, 28.09.2010

Danke, hat geklappt, dank euren Tipps.

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