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Integralrechnung - Fläche zw. 2 Graphen berechnen

Schüler Oberstufenzentrum, 12. Klassenstufe

Tags: Flächeninhalt, Funktion, Graph, Integral, Linear, quadratgische

Chuckly aktiv_icon

19:05 Uhr, 24.03.2009

geg:

f (x) = - x^{2} + 4

g (x) = x + 2

Aufgabe:
Zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem und berechnen die die Fläche, welche von beiden eingeschlossen wird.

und das wars auch schon, ne Zeichnung habe ich auch noch hinbekommen

. .

. aber beim rest bin ich ratlos!

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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

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Timmey aktiv_icon

19:32 Uhr, 24.03.2009

um die fläche zwischen 2 graphen zu ermitteln, rechnet man "oberkurve minus unterkurve"
soll heißen du ziehst die beiden funktionen voneinander ab.
deine funktion lautet dann zB

h (x) = g (x) - f (x) = x^{2} + x - 2

die integrationsgrenzen kannst du durch gleichsetzen der beiden funktionen ermitteln, denn da die beiden eine fläche einschließen ist es nur logisch von einem schnittpunkt zum andern zu integrieren.
Edit: du kannst natürlich die nullstellen meiner funktion

h (x)

ausrechnen, das kommt auf das selbe raus wie wenn du die beiden gleichsetzt

Chuckly aktiv_icon

21:21 Uhr, 24.03.2009

Entschuldige das ich mich möglicher Weise total blöd anstell, nur war ich bisher bei dem Thema Integralrechung krank

. .

.

also dem was du geschrieben hast entnehme ich folgendes:

f (x) - g (x)

f (x) = x^{2} - 4 - g (x) = x + 2

h (x) = x^{2} - x - 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

f (x) = g (x)

x^{2} - 4 = x + 2 | - x

x^{2} - x - 4 = 2 | - 2

x^{2} - x - 6 = 0

*grübel* was mach ich falsch ?

pleindespoir aktiv_icon

21:48 Uhr, 24.03.2009

Also mal schön langsam ... zuerst mal die Schnittpunkte ermitteln, das ist einfach, so zum warmwerden...

Also schreib mal, wie Du das machen würdest - ich bin ganz Auge...

pleindespoir aktiv_icon

21:50 Uhr, 24.03.2009

Warum quälst Du die eine Funktion mit Vorzeichenwechsel? Weil besser aussieht?

Chuckly aktiv_icon

13:09 Uhr, 25.03.2009

Gut gut - ich sehs ein, habe das umformen gelassen und die Zeichnung auch berichtigt.

Schnittpunkte:

f (x) = g (x)

- x^{2} + 4 = x + 2 | + x^{2}; - 4

0 = x^{2} + x - 2

(PQ-Formel)

x 1 | 2 = x^{2} + x - 2

= - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{4} + 2}

= - 0,5 \pm 1,5

x 1 = 1

X 2 = - 2

g (1) = 1 + 2 = 3 \to

SP1

(1 | 3)

g (- 2) = - 2 + 2 = 0 \to

SP2

(- 2 | 0)

Testeinsetzung:

f (- 1) = 5; g (- 1) = 1 \to f \geq g [- 2; 3]

Differenzfunktion:

h 1 (x) = F (x) - g (x) = x^{2} + x - 2

Flächeninhalt:

\int_{- 2}^{1} (x^{2} + x - 2) d x

= {[\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x]}_{- 2}^{1}

= (\frac{1^{3}}{3} + \frac{1^{2}}{2}) - (- \frac{2^{3}}{3} + \frac{{(- 2)}^{2}}{2})

= \frac{5}{6} - \frac{- 2}{3}

= \frac{1}{6}

FE

stimmt das so ??

Timmey aktiv_icon

16:17 Uhr, 25.03.2009

jetzt bildest du das integral:

| \int_{- 2}^{1} g (x) - f (x) d x | = A

die betragsstriche halt, weil nach der fläche gefragt ist und die kann ja nicht negativ sein.
alternativ kannst du auch

| \int_{- 2}^{1} f (x) - g (x) d x | = A

bilden. das ist vollkommen egal, nur das vorzeichen wechselt dann eben, wenn du die betragsstriche vergisst.
die idee dahinter ist, dass du die fläche der einen funktion ausrechnest und anschließend die fläche der anderen funktion davon abziehst. wenn du dir das mal auf dem papier klar machst und hinzeichnest wird das ganz gut klar.
du könntest also auch das integral

\int_{- 2}^{1} f (x) d x - \int_{- 2}^{1} g (x) d x

bilden. allerdings is es meistens weniger schreibarbeit erst die funktionsgleichungen voneinander abzuziehen und dann das integral zu bilden wie oben aufgeschrieben.

Chuckly aktiv_icon

16:27 Uhr, 25.03.2009

unsere post´s haben sich wohl überschnitten

. .

. stimmt das jetzt so was ich getippt habe ?

Timmey aktiv_icon

16:30 Uhr, 25.03.2009

nicht ganz, wenn du die stammfunktion von 2 bildest, kannste nich einfach das vorzeichen rumdrehen. die betragstriche setzt du erst ganz am ende. wenn dein ergebnis negativ ist, muss du es positiv machen weil es ne fläche ist.
zudem hast du dieses

2 x

auch beim einsetzen der grenzen unterschlagen wenn ich das richtig sehe.

Chuckly aktiv_icon

16:46 Uhr, 25.03.2009

Gut gut - ich sehs ein, habe das umformen gelassen und die Zeichnung auch berichtigt.

Schnittpunkte:

f (x) = g (x)

- x^{2} + 4 = x + 2 | + x^{2}; - 4

0 = x^{2} + x - 2

(PQ-Formel)

x 1 | 2 = x^{2} + x - 2

= - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{4} + 2}

= - 0,5 \pm 1,5

x 1 = 1

X 2 = - 2

g (1) = 1 + 2 = 3 \to

SP1

(1 | 3)

g (- 2) = - 2 + 2 = 0 \to

SP2

(- 2 | 0)

Testeinsetzung:

f (- 1) = 5; g (- 1) = 1 \to f \geq g [- 2; 3]

Differenzfunktion:

h 1 (x) = F (x) - g (x) = x^{2} + x - 2

Flächeninhalt:

A_{1} = \int_{- 2}^{1} (x^{2} + x - 2) d x

= | {[\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x]}_{- 2}^{1} |

= | (\frac{1^{3}}{3} + \frac{1^{2}}{2} - 2 \cdot 1) - (- \frac{2^{3}}{3} + \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - 2 \cdot (- 2)) |

= | - 1 \frac{1}{6} - 3 \frac{1}{3} |

= | - 4 \frac{1}{2} | = 4 \frac{1}{2}

FE

sooo, wie schauts nun aus ?

\land

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Timmey aktiv_icon

16:50 Uhr, 25.03.2009

sofern du dich nicht beim brüche ausrechnen noch irgendwo verrechnet hast stimmt das.
hab grad keine lust das auszurechnen ;-)
aber der weg mit stammfunktion bilden und einsetzen stimmt auf jeden fall jetz.

Chuckly aktiv_icon

20:25 Uhr, 26.03.2009

war richtig! Vielen Dank nochmal an alle Helfer :-)

Anneli aktiv_icon

14:40 Uhr, 28.03.2009

Hallo Ihr Lieben,

ich muss folgende Aufgabe lösen:

f (x) =

x³-9x²+24x-16

g (x) =

-0,5x²+3x-2,5

- \to

Ich soll praktisch die Flächen ausrechnen die durch die beiden Funkttionsgraphen begrenzt sind.

Also ich habe nun schon den ganzen Vormittag wie so ne bekloppt hin und her gerechnet.
Als eine Nullstelle bzw. Schnittstelle wurde uns 1 gegeben.

Ich muss ja nun als erstes die beiden Gleichungen gleichsetzen, da bekomme ich dann:

x³-8,5x²+21x-13,5=0

- \to

dann muss ich ja Polynomdivision anwenden, um meine Normalform zu erreichen und da ich ja 1 gegeben habe, dividiere ich also durch

(x - 1)

- \to

Mein Ergebnis: (x³-8,5x²+21x-13,5):

(x - 1) =

x²-7,5+13,5

- \to

Dann weiter mit Lösungsformel, da komm ich dann auf

x 1 = 4,5

und

x 2 = 3

So und nun weiß ich nicht so recht weiter, wie ich meine Integrationsgrenzen setzen soll...könnte mir da jmd nen Tipp geben, oder zumindest sagen, ob das zuvor gerechnete richtig ist...?

Chuckly aktiv_icon

15:44 Uhr, 28.03.2009

bisher ist schonmal alles richtig, bis auf dass du schon 3 schnittpunkte hast.

x_{1} = 1

x_{2} = 4,5

X_{3} = 3

jetzt solltest du das ganze vielleicht mal skizieren (ich machs mal fix für dich) und schauen von welchem SP bis zum anderen SP du denn überhaupt berechnen musst.

Und wie du nun der Zeichnung entnehmen kannst ist die eingeschlossene Fläche zwischen dem SP 3 und

4,5

\to \int_{3}^{4,5}

wünsch dir gutes gelingen und schau später nochmal rein

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Anneli aktiv_icon

15:50 Uhr, 28.03.2009

Also ich hätte ja gedacht ich muss dann meine Integrationsgrenzen von:

$\int_{1}^{3}$ und von $\int_{3}^{4, 5}$ setzen, weil beide Funktionen sich ja einmal bei 1, 3 und 4,5 schneiden...

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