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Integralrechnung mit Exponentialfunktion??

Schüler Maturitätsschule, 12. Klassenstufe

Tags: Exponentialfunktion, Integral, Zeitrechnung

nikita- aktiv_icon

11:53 Uhr, 02.04.2012

Hallo zusammen!

ich habe morgen eine matheklausur und muss für diese noch ganz dringend eine Aufgabenstellung begreifen bzw. rechen können.

die Aufgabe lautet:
Vor 5 Jahren lieferte eine Quelle

15

liter pro Sekunde. Heute sind es

12

liter pro Sekunde. Annahme Liter pro Sekunde verhalten sich im Laufe der Zeit wie eine Exponentialfunktion.
Wie viele Millionen Liter Wasser liefert die Quelle höchstens von heute bis zum Zeitpunkt, wo sie versiegt?

Wäre super wenn mir jemand helfen könnte!
Vielen Dank im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

15:54 Uhr, 02.04.2012

...es sind mehrere exp. Abfälle möglich! Ich nehm' mal den Standard-Fall:

exp. Abfall über

y = N_{0} \cdot e^{- (λ \cdot t)}

Einsetzen deiner geg. Punkte liefert:

12 = N_{0} \cdot e^{- (λ \cdot t)}

15 = N_{0} \cdot e^{- (λ \cdot (t - 5))} = N_{0} \cdot e^{- λ \cdot t + 5 \cdot λ} = N_{0} \cdot e^{- λ \cdot t} \cdot e^{5 \cdot λ} = 12 \cdot e^{5 \cdot λ}

\frac{15}{12} = e^{5 \cdot λ}

λ = {log}_{e^{5}} (\frac{15}{12}) = \frac{ln (\frac{15}{12})}{ln (e^{5})} = \frac{1}{5} \cdot ln (\frac{4}{3})

Nun kannst du deine Fördermenge von heute

(t)

als

N_{0}

in den Nullpunkt setzen, und erhälst für die Fördermenge ab heute den Verlauf:

y = 12 \cdot e^{- (λ \cdot t)} = 12 \cdot e^{- (\frac{t}{5} \cdot ln (\frac{4}{3}))} = 12 \cdot {(\frac{4}{3})}^{- \frac{t}{5}}

Damit fördert man bis in

\infty

F = \int_{0}^{\infty} 12 \cdot {(\frac{4}{3})}^{- \frac{t}{5}} d t = 12 \cdot \int_{0}^{\infty} {(\frac{4}{3})}^{- \frac{t}{5}} d t

F = 12 \cdot - \frac{5}{ln (\frac{4}{3})} \cdot {[\frac{3^{\frac{x}{5}}}{2^{\frac{2 \cdot x}{5}}}]}_{0}^{\infty}

F = - \frac{60}{ln (\frac{4}{3})} \cdot - 1 = 208,56 \frac{L t r}{s} \cdot J a h r \approx 6.465.000.000 L t r

...vielleicht hab' ich auch irgendwo ein rechenpatzer, musste mehrmals nachbessern...kontrollier also noch mal selbst.

;-)

nikita- aktiv_icon

16:33 Uhr, 02.04.2012

vielen dank, aber deine lösung stimmt nicht mit der vorgegebenen Lösung überein...die wäre

8.48 \cdot 10^{9} . .

Atlantik aktiv_icon

16:57 Uhr, 02.04.2012

f (t) = a \cdot q^{t}

f (5) = 15 \cdot q^{5} = 12

q^{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}

q = \sqrt[5]{\frac{4}{5}} = 0,9563525

f (t) = a \cdot {0,9563525}^{t}

F (t) = \int_{0}^{00} (12 \cdot {0,9563525}^{t}) d t = 12 \int_{0}^{00} ({0,9563525}^{t}) d t

Ich weiß jetzt nicht, wie ich das Integral berechnen kann.

mfG

Atlantik

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Edddi aktiv_icon

07:16 Uhr, 03.04.2012

...hey Atlantik:

12 \cdot \int a^{t} d t = 12 \cdot {[\frac{a^{t}}{ln (a)}]}_{0}^{\infty} = \frac{12}{ln (a)} \cdot (a^{\infty} - 1) = 268,88

Somit

F = 268,88 \frac{L t r}{s} \cdot J a h r \approx 8.480.000

...damit hab' ich wohl den falschen exp. Verlauf gewählt...Üblicherweise wird aber der Verlauf des exp. Abfalls durch die Lösung der Diff.-gl.

- τ \cdot \frac{d A}{d t} = A

mit

A (t) = A_{0} \cdot e^{- \frac{t}{τ}}

gegeben. Mit

\frac{1}{λ} = τ

ist dann die Zeitkonstante beschrieben.

;-)

Edddi aktiv_icon

07:33 Uhr, 03.04.2012

...übrigens hab' ich meinen Patzer gefunden:

Hab' ich doch glatt

\frac{15}{12}

\frac{4}{3}

gekürzt...auweihah

Somit wäre

λ = \frac{1}{5} \cdot ln (\frac{5}{4})

Und damit

y = 12 \cdot e^{- (λ \cdot t)} = 12 \cdot e^{- (\frac{1}{5} \cdot ln (\frac{5}{4}) \cdot t)} = 12 \cdot {(\frac{5}{4})}^{- \frac{t}{5}}

Somit fördert man bis ins

\infty

F = 12 \cdot \int_{0}^{\infty} {(\frac{5}{4})}^{- \frac{t}{5}} d t = 12 \cdot \frac{5}{ln (\frac{5}{4})} \cdot {[- \frac{4^{\frac{x}{5}}}{5^{\frac{x}{5}}}]}_{0}^{\infty}

F = - 12 \cdot \frac{5}{ln (\frac{5}{4})} \cdot {[{(\frac{4}{5})}^{\frac{x}{5}}]}_{0}^{\infty}

F = \frac{60}{ln (\frac{5}{4})} = 268,88 \frac{L t r}{s} \cdot J a h r = 8.480.000 L t r

;-)

nikita- aktiv_icon

09:10 Uhr, 03.04.2012

vielen Dank euch beiden!! :-D)

@edddi du rechnest mal JAHRE, wie meinst du das, bzw. woher weisst du wieviele Jahre??

Edddi aktiv_icon

09:47 Uhr, 03.04.2012

...die Zeitachse ist ja in Einheiten zu einem Jahr definiert. Wir haben ja mit

t = 0

und

t = 5

gerechnet. Dazwischen liegen also 5 Jahre.
Die Werte-Achse ist die Förderleistung in Liter pro Sekunde.

Die Fläche unter der Kurve hat dann die Dimension:

A = x \frac{L t r}{s} \cdot J a h r

und somit sellt die Fläche ja die Fördermenge in dieser Einheit dar.

Da

1 J a h r = 365 \cdot 24 \cdot 3600 s

ist die Fördermenge:

F = A = x \frac{L t r}{s} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600 s = x \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600 L t r

;-)

nikita- aktiv_icon

09:50 Uhr, 03.04.2012

Achsoo:-D) ENDLICH hab ich's kapiert!!

tausend Dank!!^^

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