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Intregal u-Berechnung

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Fläche, Flächeninhalt, Integral, Integralfunktion, Variable

Spax94 aktiv_icon

20:36 Uhr, 19.01.2012

Hallo zusammen!
Wir beschäftigen uns im Mathegrundkurs gerade mit Integralen.
Bis jetzt habe ich zu diesem Thema alles verstanden.
Nun hat uns unser Lehrer eine Aufgabe gegeben, mit der ich nicht zurechtkomme:

Bestimmen sie die Intervallgrenze

u

des Intervalls I so, dass der Graph von

f

mit der x-Achse über dem Intervall I eine Fläche mit dem Flächeninhalt A einschließt.

f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 12

[

u;2]

A = 43

Im Grunde brauche ich ja nur

u

zu bestimmen, in einer vorherigen Aufgabe mit

f (x) = x + 2,

habe ich aufgeleitet und die PQ-Formel angewendet und so das richtige Ergebnis erhalten, wenn ich für die Grenze

u

des Intervalls den errechneten Wert nahm.

Wenn ich aber diese Funktion aufleite (kann man auch sagen: Stammfunktion bilden?), dann bekommen ich folgende Funktion:

[\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 12 x],

die Grenzen sind halt

u

und

2,

kann ich hier nicht eingeben.

Ich habe dann

u

und 2 eingesetzt:

(\frac{2}{3} u^{3} - u^{2} - 12 u) - (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - 2^{2} - 12 \cdot 2) = \frac{2}{3} u^{3} - u^{2} - 12 u - \frac{68}{3} = 43

Ab hier komme ich nicht mehr weiter! Ein Freund von mir meinte, ich muss jetzt so umstellen, dass die

u' s

nur noch auf einer Seite stehen und der Rest auf der anderen.
Dann solle ich die beiden Gleichungen in den GTR eingeben und der Schnittpunkt sei

u

.

Vielleicht stehe ich grade einfach nur auf dem Schlauch, falls mir jemand helfen kann, würde ich mich sehr freuen. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Flächeninhalte
Flächenmessung
Integralfunktion
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DmitriJakov aktiv_icon

20:47 Uhr, 19.01.2012

Deine Berechnung war soweit ich sehen konnte korrekt. Die Lösung ist ziemlich krumm und ohne Näherungsverfahren (oder GTR) sehe ich da keine andere Lösungsmöglichkeit.

Man sagt übrigens standardmäßig "Stammfunktion bilden" und nicht "Aufleiten". Letzteres ist eher Umgangssprache.

Spax94 aktiv_icon

20:50 Uhr, 19.01.2012

Heißt das, die Aufgabe ist so gestellt, dass ich mit dem GTR solange die Werte verändern muss, bis ich auf die richtige Lösung komme? Warum wird so eine komische Aufgabe gestellt?

Noch eine Frage:

ich habe jetzt wenn ich alle

u' s

auf eine Seite haben möchte so gerechnet:

\frac{3}{2} u^{3} - u^{2} - 12 u - \frac{68}{3} = 43 | + \frac{68}{3}

\frac{3}{2} u^{3} - u^{2} - 12 u = \frac{197}{3} | : \frac{3}{2}

u^{3} - u^{2} - 12 u = \frac{394}{9} | : (- 12)

u^{3} - u^{2} + u = - \frac{197}{54}

oder statt

| : (- 12)

| + 12

und dafür

\cdot x

links?
Ich bin mir irgendwie nicht ganz sicher beim Ergebnis, ist nicht so mein Tag heute. :-D)

DmitriJakov aktiv_icon

20:54 Uhr, 19.01.2012

Frag mich bitte nicht nach den Motiven des Autors einer Aufgabe. Das kann alles mögliche sein. Es soll ja in den Schulen auch der Gebrauch des GTR gelehrt werden. Kann sein, dass das hier nun so ein Lehrbeispiel ist.

DmitriJakov aktiv_icon

21:07 Uhr, 19.01.2012

Die letzten beiden Zeilen von Deinem Edit sind inkorrekt. Wenn Du durch

\frac{3}{2}

dividierst, dann natürlich alles:

\frac{\frac{3}{2} u^{3} - u^{2} - 12 u}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{197}{3}}{\frac{3}{2}}

u^{3} - \frac{2}{3} u^{2} - 8 u = \frac{394}{9}

Spax94 aktiv_icon

21:09 Uhr, 19.01.2012

okay danke, total blöder Fehler von mir

: S

Wie rechne ich jetzt weiter?

DmitriJakov aktiv_icon

21:18 Uhr, 19.01.2012

Ich kann mit den GTR nichts gescheites anfangen :-D) Das musst Du rausfinden. Wolframalpha gibt als exakte Lösung an:

u = \frac{1}{27} (6 + {(448551 - 243 \sqrt{3275849})}^{\frac{1}{3}} + 3 {(16613 + 9 \sqrt{3275849})}^{\frac{1}{3}})

Und als Mathematica plaintext:
"Select

[

Solve[(-394-72u-6u^2+9u^3)/6==0,u],Element[u /. #1, Reals] & ]"

Siehe: www.wolframalpha.com/input/?i=3%2F2*u%5E3-u%5E2-12u-197%2F3&asynchronous=false

Spax94 aktiv_icon

21:31 Uhr, 19.01.2012

ist mir echt peinlich das zu fragen, aber wie löse ich das auf, das die

u' s

auf einer Seite stehen?:

\frac{3}{2} x^{3} - x^{2} - 12 x - \frac{68}{3} = 43

Sorry, aber ich mach manchmal noch sone totalen Anfängerfehler

: - (

DmitriJakov aktiv_icon

21:36 Uhr, 19.01.2012

Du hast es oben doch fast schon gehabt:

\frac{3}{2} x^{3} - x^{2} - 12 x - \frac{68}{3} = 43 | - 43

\frac{3}{2} x^{3} - x^{2} - 12 x - \frac{68}{3} - 43 = 0

\frac{3}{2} x^{3} - x^{2} - 12 x - \frac{68}{3} - \frac{129}{3} = 0

\frac{3}{2} x^{3} - x^{2} - 12 x - \frac{197}{3} = 0

hagman aktiv_icon

21:38 Uhr, 19.01.2012

Vielleicht hätte der GTR hier wenigstens ein Aha-Erlebnis hinsichtlich des Vorzeichens gebracht?

f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 12 = 2 \cdot (x - 3) \cdot (x + 2)

hat Nullstellen bei

- 2

und bei 3 und ist zwischen diesen Nullstellen negativ.
Zumindest dann, wenn

- 2 < u < 2

ist, integrierst du also über eine negative Funktion.
Normalerweise werden in schulmathematischen Aufgaben die Flächen durchweg positiv gezählt.
Allerdings ist

\int_{2}^{2} | 2 x^{2} - 2 x - 12 | d x = \int_{2}^{2} (- 2 x^{2} + 2 x + 12) d x = - \frac{2}{3} x^{3} + x^{2} + 12 x |_{- 2}^{2}) = \frac{112}{3},

und das ist weniger als

43

(es fehlen

\frac{17}{3})

Somit suchst du "in Wirklichkeit" ein

u < - 2

mit

\int_{u}^{- 2} (2 x^{2} - 2 x - 12) d x = \frac{17}{3}

\Leftrightarrow \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 12 x |_{u}^{- 2} = \frac{17}{3}

\Leftrightarrow (- \frac{16}{3} - 4 + 24) - (\frac{2}{3} \cdot u^{3} - u^{2} - 12 \cdot u) = \frac{17}{3}

\Leftrightarrow 2 u^{3} - 3 u^{3} - 36 u - 27 = 0

Freundlicherweise ist

u = - 3

eine durch Raten oder Probieren findbare Lösung.
Zwei weitere findet man mit der pq-Formel nach Polynomdivision (über die Sinnhaftgkeit dieser beiden Lösungen sollte man dann aber erst noch nachdenken).

Spax94 aktiv_icon

21:47 Uhr, 19.01.2012

Okay danke nochmal für die schnell Hilfe, ich habs verstanden:-D)

Spax94 aktiv_icon

21:48 Uhr, 19.01.2012

Okay danke nochmal für die schnell Hilfe, ich habs verstanden:-D)

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