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Kann mir jemand die Kegelschnittnamen erklären?

Schüler

Tags: Ellipse, Hyperbel, Parabel

Gisy123 aktiv_icon

22:16 Uhr, 13.08.2014

Hallo,

kann mir jemand von euch erklären, weshalb die alten Griechen den drei Kegelschnitte die Namen Ellipse, Parabel, Hyperbel gegeben haben, die ja übersetzt nichts anderes bedeuten als Überschuss, Gleichheit und Mangel ??

Es grüßt

Gisy

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

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Respon

23:41 Uhr, 13.08.2014

Die Namen drücken die Relation zur numerischen Exzentrizität aus

(< 1, = 1, > 1)

Gisy123 aktiv_icon

10:02 Uhr, 14.08.2014

Danke für deine Antwort, respon,

aber der Zusammenhang zwischen Gleicheit (Parabel), Überschuss (Hyperbel) und Mangel (Ellipse) zu der "numerischen Exzentrizität" (Was ist das ???) ist mir nicht klar.

Gisy

funke_61 aktiv_icon

10:07 Uhr, 14.08.2014

de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitte#Scheitelgleichung_einer_Kegelschnitt-Schar

Hilft Dir dieser Wikipedia-Artikel-Abschnitt weiter?

oculus aktiv_icon

13:44 Uhr, 14.08.2014

Hallo,

freut mich, dass man sich im Schülerforum - wenn auch nur vereinzelt – doch noch mit den Kegelschnitten beschäftigt. Deshalb antworte ich dir etwas ausführlicher.

Bei der Parabel mit der Gleichung

y^{2} =

2px ist der Scheitel der Koordinatenanfangspunkt

O (0,0)

. Wählt man bei der Ellipse den linken Hauptscheitel zum Anfangspunkt, so muss man in der Mittelpunktsgleichung

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

das

x

durch

x - a

ersetzen. Man erhält dann (nach

y^{2}

ausgerechnet)

y^{2} = \frac{b^{2}}{a} \cdot (2 x - \frac{x^{2}}{a})

.
Für die Scheitelgleichung der Hyperbel

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

wählt man den rechten Hauptscheitel als Koordinatenanfang, ersetzt also

x

durch

x + a,

und bekommt

y^{2} = \frac{b^{2}}{a} \cdot (2 x + \frac{x^{2}}{a})

.
Definiert man dann noch

p := \frac{b^{2}}{a}

ein, so erhält man als Scheitelgleichungen

y^{2} =

2px

- \frac{p}{a} \cdot x^{2}

für die Ellipse

y^{2} =

2px für die Parabel und

y^{2} =

2px

+ \frac{p}{a} \cdot x^{2}

für die Hyperbel.

Vergleicht man diese drei Gleichungen miteinander, so erkennt man:

Das Quadrat der Ordinate

y^{2}

ist
bei der Ellipse kleiner,
bei der Parabel gleich und
bei der Hyperbel größer
als das Rechteck mit der Seitenlängen

2 p

(dem Kegelschnitt-Parameter) und der Abszisse

x

.
Daher wohl die Namen.

Der Begriff Exzentrizität kommt im Schulunterricht eigentlich erst bei der Einführung der "Polarkoordinaten" vor, in denen die drei Kegelschnitte dasselbe Aussehen haben:

r = \frac{p}{1 - ε \cdot cos (φ)}

.

Gleiches Aussehen bekommt dann auch die Scheitelform der Kegelschnittgleichung

y^{2} = 2 \cdot p \cdot x

–

(1

–

ε^{2}) \cdot x^{2},

die
für

ε = 0

eine Kreisgleichung
für

0 < ε < 1

eine Ellipsengleichung
für

ε = 1

eine Parabelgleichung und
für

1 < ε < \infty

eine Hyperbelgleichung darstellt.

Es grüßt

oculus

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