Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kettenlinie

Kettenlinie

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, Kettenlinie, Kurvendiskussion, Logarithmieren

Jemand aktiv_icon

18:43 Uhr, 24.10.2009

Wie finde ich die Extrema dieser Funktion (Kettenlinie) heraus:

\frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})

Nullstellen:

Da e-Funktionen nie Null sind, und ein Wert über Null in diesem Fall

\cdot 0.5

immer noch größer als Null ist, gibt es keine Nullstellen.

Extrema:

f (x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})

f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{- x})

Ableitung soweit verstanden, Kettenregel kommt zum Tragen.

\frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{- x}) = 0

Mein Ziel ist zu beweisen, dass

x = 0

rauskommt weil ich mir den Graphen angeguckt habe.

Mein weiteres vorgehen Nr. 1

Ein Produkt is dann Null wenn einer der Faktoren Null is,

e

ist nich null also guck ich mir den anderen Teil an.

Das wäre nur zur Info das vorgehen was in den bisherigen Aufgaben immer die Lösung war oder dazu geführt hat.

\frac{1}{2} = 0

An dieser Stelle könnte man irgendwie ein

x

dazu erfinden. Dann würde da aber leider immer noch nicht das richtige Ergebnis stehen

: (

x = \frac{1}{2}

stehen.

Mein weiteres vorgehen Nr.2

\frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{- x} = 0

Damit ich das

e^{x}

wegbekomm und dann mehr als bei Variante 1 auf der einen Seite stehen hab, nämlich das in der Klammer

e^{x} \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{2^{- 1}}) = 0

Ich hab mit dem

^- 1

versucht das

^- x

darzustellen. Ich kenn mich damit nicht so aus.

Mir fällt auf, das wie ich das Blatt auch drehe und wende, am Ende auf der einen Seite eh nie

x

steht weil die im Exponenten sind.
Dann muss ich diese komische Logarithmieren ausprobieren, was wir angeblich schonmal hatten. Hab mir dazu schon die Schreibweise angeguckt.

2^{}

= 8

{log 2}^{8} =

?
Aber wenn ich das machen würde (erstmal wären Fehler vorprogrammiert weil ich das noch nie gemacht hab und praktisch keine Regeln darüber kenne), wäre die Frage ob ich das

\frac{1}{2}

mit logarithmieren müsste und so wie ich das seh würde am ende irgendwas mit

x - (- x) = 0

rauskommen was mich zu meinem Ergebnis führen würde.
Das ist aber nur eine total unmathematische vermutung und ich hätte gerne diesen Beitrag von einem pingeligen Menschen kritisiert bekommen, der mich am Ende zusätzlich zur Lösung führt. Pingelig = Auch meine "falschen" Ansätze behandeln und begründen warum sie nicht klappen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Severshe aktiv_icon

18:52 Uhr, 24.10.2009

Also ich würde folgendermaßen vorgehen:

Deine Ableitung hast du ja jetzt schon Null gesetzt.

So wie ich das sehe hast du nur Probleme die Gleichung nach

x

umzuformen:

\frac{1}{2} \cdot e^{x} - \frac{1}{2} \cdot e^{- x} = 0

anwenden:

| \cdot 2 | + e^{- x}

e^{x} = e^{- x} = \frac{1}{e^{x}}

anwenden:

| \cdot e^{x}

e^{x} \cdot e^{x} = e^{2 x} = 1

So und jetzt wendest du an, dass gilt:

ln (e^{y}) = y

Hilft dir das weiter?

(Generell zu log und

ln :

ln

ist die umkehrfunktion von der e-Fkt.:

ln (e^{x}) = x

Du kannst jede Potzen auch mit e-Fkt und Logarithmus darstellen:

2^{x} = e^{ln (2) \cdot x}

Das wird wichtig, wenn du

2^{x}

oder

x^{x}

ableiten sollst.

Rechenregeln:

{log}_{b} (a) = \frac{ln (a)}{ln (b)}

ln (\frac{x}{y}) = ln (x) - ln (y)

ln (x \cdot y) = ln (x) + ln (y)

Jemand aktiv_icon

18:59 Uhr, 24.10.2009

Erstmal: Danke für die schnelle Antwort

Dann: Warum sind meine anderen Ansätze falsch ?

Bin soweit mitgekommen.

"So und jetzt wendest du an, dass gilt: ln(ey)=y" Wie soll ich das anstellen ?

Jemand aktiv_icon

19:00 Uhr, 24.10.2009

Okey das was du jetzt noch dazu geschrieben hast versteh ich nicht.

Was hat

e

damit zu tun ?

ln

war doch 10^irgendwas. wie kommt das jetzt in Zusammenhang mit log ?
Und is der Logarithmus nich generell das Gegenstück zur Potenz und nich nur zur

e

Funktion ?

Severshe aktiv_icon

19:06 Uhr, 24.10.2009

Verstehst du denn meine Rechenschritte, die ich immer neben die GLeichungen geschrieben habe? Also, wie ich von

f' (x) = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x}) = 0

auf

e^{2 x} = 0

gekommen bin?

Jemand aktiv_icon

19:09 Uhr, 24.10.2009

Ja eigentlich schon. du hast die Klammer ausmultipliziert, das

e^{- x}

auf die andere Seite genommen, die Schreibeweise verändert,

e^{x}

wieder rübergenommen und dann durch irgendwelche potenzgesetze bist du dann auf (ich glaub ich erinner mich schwach)

e^{2} x

gekommen. aber auf der anderen seite stand doch noch 1

Severshe aktiv_icon

19:18 Uhr, 24.10.2009

Oh ja, sry.

Genau, sehr schön das war auch schon die Hauptarbeit.

Nebenbei Potenzgesetz:

x^{y} \cdot x^{z} = x^{y + z}

Also bei uns:

e^{x} \cdot e^{x} = e^{x + x} = e^{2 x}

Also haben wir:

e^{2 x} = 1

So und jetzt kommt die Sache mit dem logarithmus:

Ich würde eher sagen, dass alle Logarithmen auf den natürlichen aufbauen.

Wenn beweist man alles mit dem natürlichen Logarithmus

(ln)

.

Wir wenden jetzt den

ln

auf beide seiten an:

ln (e^{2 x}) = ln (1)

\Leftrightarrow 2 x = ln (1)

und da

ln (1) = 0

\Rightarrow x = 0

q . e . d

Jemand aktiv_icon

19:21 Uhr, 24.10.2009

Okey also

ln

e^irgendwas einfach das

e

wegkürzen. falls man das als wegkürzen bezeichnen darf. naja und

ln (1)

einfach in den taschenrechner eingeben.

okey meine letzte frage: was heißt

q . e . d

. ? das hat der mathe lehrer mal nach einer wirklich sehr sehr guten presentation einer hausaufgabe an die tafel geschrieben.

Jemand aktiv_icon

19:23 Uhr, 24.10.2009

Jetzt weiß ich natürlich immer noch nicht wie das mit dem Logarithmieren geht. kennst du ne seite die das gut erklärt ? also die die ich gefunden haben setzen alle halbwissen vorraus.
Oh aber ich hab nach logarithmieren einer

e

Funktion gefragt. normale zahlen hab ich ja gute sachen gefunden.

Severshe aktiv_icon

19:26 Uhr, 24.10.2009

Weiß auch nicht so wirklich, wie man das bezeichnet aber:

ja, das ist die Rechenregel ;-)

zu "q.e.d."

Das ist eine lateinische Abkürzung:

quod erat demonstrandum

Auf Deutsch:

Was zu beweisen war.

Damit kennzeichnet man, dass man am Ende seines Beweises ist.

Jemand aktiv_icon

19:28 Uhr, 24.10.2009

worauf bezieht sich das :

"Weiß auch nicht so wirklich, wie man das bezeichnet aber:

ja, das ist die Rechenregel ;-)"

achso. hättest du das nich schon in der ersten antwort schreiben können ? :-P) xD

Severshe aktiv_icon

19:29 Uhr, 24.10.2009

Was ist dir denn an logarithmen unklar/ bzw. was willst du wissen, vieleicht kann ich dir da auch weiterhelfen.

Hab das auch nur aus dem Schulunterricht und ich denke, dass du daran nicht so interessiert bist, dass dir Buchempfehlungen weiterhelfen, die mir jetzt im Studium weiterhelfen.

Jemand aktiv_icon

19:31 Uhr, 24.10.2009

Also es ist Wochenende (ich hab Zeit) und ich will mein Abi mit Mathe machen (in

2

Jahren) also ich würde sagen ich bin sehr interessiert :-)

Naja aber eigentlich will ich nur ne schnelle Lösung weil ich nich nach Hamburg komm um mir Bücher von dir auszuleihen.

und beantworte mal die frage worauf sich das bezieht.

Also bisher (und das hat sich in dieser Aufgabe wieder bestätigt) muss ich nur Zahlen logarithmieren und das geht ja ohne jedes verständnis und komische schreibweise (einfach nur

| ln

an die seite der aufgabe) und dann in den taschenrechner. und sonst gilt, dass man

e

damit wegbekommt. ja soviel weiß ich. und log is

ln

mit der basis

10 .

. oder wars andersrum ?

Severshe aktiv_icon

19:46 Uhr, 24.10.2009

Das bezog sich auf das

ln (e^{...})

"kürzen" oder wie man es auch immer nennt...

1. Wie kommst du auf Hamburg? Wohne in NRW.

lg(x)

= {log}_{10} (x)

Kann allerdings auch sein, dass wenn aus dem Kontext klar ist welche Basis man wählt nur log steht.

ln (x) = {log}_{e} (x)

Jemand aktiv_icon

19:48 Uhr, 24.10.2009

Achso. Ich dachte Hamburg weil Hamburg für mich die Stadt der Studierenden is :-)
warum is es oben lg und unten

ln

?
man warum diese

10

? und warum

e

? was hat das damit zu tun ?

log e (x)

würde dann ja heißen dass wenn man

e

also 2,irgendwas irgendwieoft potenziert

x

rauskommt. aber warum denn log ? gilt log nich nur bei 10er basen und

ln

bei allen möglichen ? und deswegen heißen die anders ?

Severshe aktiv_icon

19:57 Uhr, 24.10.2009

Das sind die logarithmen zu verschiedenen Basen:

Wenn du die gleichung hast:

4^{5 x + 3} = 30

Ist deine Basis die 4

\Rightarrow {log}_{4} (4^{5 x + 3}) = {log}_{4} (30)

\Leftrightarrow 5 x + 3 = {log}_{4} (30)

etc.

Du kannst das aber auch mit dem

ln

lösen:

4^{5 x + 3} = e^{ln (4) \cdot (5 x + 3)} = 30

\Rightarrow ln (e^{ln (4) \cdot (5 x + 3)}) = ln (30)

\Leftrightarrow ln (4) \cdot (5 x + 3) = ln (30)

\Leftrightarrow 5 x + 3 = \frac{ln (30)}{ln (4)} = {log}_{4} (30)

Ist im Moment wahrhscienlich noch ein bischen unklar warum das Vorteile hat aber kommt sobald du versucht irgendwas abzuleiten.

Jemand aktiv_icon

20:05 Uhr, 24.10.2009

den oberen teil hab ich verstanden, den unteren nicht. wie das mit dem

ln

geht.
gut dann kann ich mich ja jetzt wenigstens auf das "log" verlassen.
dieses

ln

is komisch. da is irgendwie immer noch

e

mit dabei obwohl ich das gar nicht haben will.
aber wie

ln

arbeitet sind man ja da.
oh

. .

. nee das sind

. .

. das is ja ganz schön komplex mit dem

ln

.
man macht erstmal die gesamte potenz als potenz von

e

dann

. .

. separiert man die basis von der ursprungspotenz und schreibt

ln

dahinter
dann schreibt man hinter das ganze ding

ln

. auch auf beiden seiten als globalen rechenschritt.
dann separiert man das wieder.
und kann mit den übrig gebliebenen zahlenwerten und dem

x

rumspielen.

665023

664957

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?