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Konvergenz und Grenzwerte rekursiver Folgen beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Grenzwert, Konvergenz, rekursive Folgen

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20:15 Uhr, 13.05.2024

Hallo,
um die Konvergenz der Folge zu beweisen, hatte ich die Idee Beschränktheit und Monotonie zu zeigen. Aber, da muss mal

b > a

sein und mal

b < a

sein damit die Folge monoton wächst (siehe Notizen( leider ein wenig unordentlich und unsauber) ). Demnach wird das wohl nicht der richtige Weg sein. Ich hatte auch überlegt

| a - a_{n} | < ε

zu zeigen, jedoch kennen wir den Grenzwert nicht. Nun weiß ich nicht weiter. Ich danke für jede Hilfe im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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michaL aktiv_icon

21:08 Uhr, 13.05.2024

Hallo,

die Folgen

(a_{n})_{n \in ℕ}

, die dem rekursiven Bildungsgesetz

a_{n} = \frac{a_{n - 1} + 2 a_{n - 2}}{3}

folgen, bilden einen Vektorraum, wie man leicht nachrechnet.
Dass dieser zweidimensional ist, sollte auch nicht verwundern.
Nur die Basis, über die sollten wir reden.

Ich hätte gerne eine Basis aus geometrischen Folgen, einfach, weil man mit denen leicht rechnen kann.
Ich suche also eine Folge

(q^{n})_{n \in ℕ}

, aber eben mit der Eigenschaft

q^{n} = \frac{q^{n - 1} + 2 q^{n - 2}}{3}

bzw. nach Kürzen durch

q^{n - 2}

eben

q^{2} = \frac{q + 2}{3}

.
Daraus ergeben sich

q_{1 / 2} = \frac{1}{6} \pm \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{2}{3}} = \frac{1}{6} \pm \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{24}{36}} = \frac{1}{6} \pm \frac{5}{6}

.

Daraus ergibt sich

q_{1} = - \frac{2}{3}

und

q_{2} = 1

.

Mit diesen beiden Basisfolgen, also mit

{(- \frac{2}{3})}_{n \in ℕ}^{n}

und

(1)_{n \in ℕ}

, versuchen wir eine geschlossene Formel für deine Folge(n) zu finden.

Es muss nämlich gelten:

(a_{n})_{n \in ℕ} = λ \cdot {(- \frac{2}{3})}_{n \in ℕ}^{n} + μ \cdot (1)_{n \in ℕ}

Es genügt schon, wenn

a = λ + μ

und

b = - \frac{2}{3} λ + μ

gelten. (Wegen des Rekursionsgesetzes!)
Daraus ergeben sich

λ = \frac{3}{5} (a - b)

und

μ = a - \frac{3}{5} (a - b) = \frac{2}{5} a + \frac{3}{5} b

.

Deine Folge kann also explizit als

a_{n} = (- 1)^{n} \cdot {(\frac{2}{3})}^{n} \cdot (\frac{3}{5} a - \frac{3}{5} b) + \frac{2}{5} a + \frac{3}{5} b

geschrieben werden.

Hier "sieht" man auch den Grenzwert, nämlich

g := \frac{2}{5} a + \frac{3}{5} b

, da

(a_{n} - g)_{n \in ℕ}

eine (alternierende) Nullfolge ist.

Ich weiß nicht, ob diese Lösung akzeptiert werden wird. Vielleicht sollt ihr tatsächlich das Abschätzen demonstrieren. Außerdem enthält diese Skizze z.T. nach größere Lücken (und, wie ich neuerdings wohl anmerken sollte, evtl. auch Rechenfehler).

Mfg Michael

HAL9000

22:21 Uhr, 13.05.2024

> Ich weiß nicht, ob diese Lösung akzeptiert werden wird.

Warum nicht? Aber falls es doch Probleme gibt, könnte man mit der Folge

b_{n} := a_{n + 1} - a_{n}

argumentieren: Man kann leicht nachweisen, dass das eine geometrische Folge ist, um dann rückwärts via

a_{n} = a_{0} + \sum_{k = 0}^{n - 1} b_{k}

unter Nutzung der Partialsummenformel der geometrischen Reihe dann eine explizite Formel für

(a_{n})

zu entwickeln.

Sspss aktiv_icon

23:39 Uhr, 13.05.2024

Kannst du mir erklären wie du auf

λ = \frac{3}{5} (a - b)

und

μ = a - \frac{3}{5} (a - b)

gekommen bist.

KartoffelKäfer aktiv_icon

00:36 Uhr, 14.05.2024

Sei

a_{n + 2} = \frac{1}{3} a_{n + 1} + \frac{2}{3} a_{n}

für alle

n \geq 0

und

a_{0} = a, a_{1} = b

.

Es folgt eine kurze, formlose Rechnung nach Schema

F :

x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{2}{3} = (x - 1) (x + \frac{2}{3})

(pq-Formel:

\frac{1}{6} \pm \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{2}{3}} = \frac{1}{6} \pm \frac{5}{6})

\Rightarrow a_{n} = k_{1} 1^{n} + k_{2} {(- \frac{2}{3})}^{n}

mit

a = k_{1} + k_{2}, b = k_{1} - \frac{2}{3} k_{2}

\Rightarrow k_{1} = \frac{2}{5} a + \frac{3}{5} b, k_{2} = \frac{3}{5} (a - b)

.

Und nun kann man die Folge explizit angeben

und auch sofort den Limes bilden:

Für alle

n \geq 0

gilt

a_{n} = \frac{3}{5} (a - b) {(- \frac{2}{3})}^{n} + \frac{2}{5} a + \frac{3}{5} b

und somit

a_{n} \to \frac{2}{5} a + \frac{3}{5} b (n \to \infty)

.

Im Anhang ein haptisches Kochrezept

(anhand eines nicht ganz so simplen Beispiels wie hier)

des hier angewendeten Verfahrens

um aus rekursiven Folgen explizite zu machen.

Für die Theorie dazu sichte

z . B

. die freie pdf

"Junker, Diskrete Algebraische Strukturen"

und dort dann Seite

25

michaL aktiv_icon

06:48 Uhr, 14.05.2024

Hallo,

> Kannst du mir erklären wie du auf λ=35(a−b) und μ=a−35(a−b) gekommen bist.

Klar. Ich habe das angegebene lineare Gleichungssystem gelöst:

a = λ + μ

b = - ⅔ λ + μ

Mfg Michael

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