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Konvergenz von Reihen mit sin, cos

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Cosinus, Folgen und Reihen, Konvergenz, Sinus

InfoStudi aktiv_icon

01:22 Uhr, 20.09.2017

Hallo zusammen,

ich habe im Punkt Konvergenzkriterien von Reihen eine Unsicherheit. Es geht konkret um das richtige umformulieren von Reihen, die Cosinus oder Sinus enthalten um anschließend ein Konvergenzkriterium darauf anwenden zu können.

Bei folgender Reihe:

\sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{cos (n \cdot π)}{\sqrt{n}})

habe ich mir überlegt, dass

- 1 \leq cos \leq 1

gilt. Da Cosinus alterniert, könnte ich ihn auch als

{(- 1)}^{n}

darstellen und würde somit die Reihe umschreiben können zu:

\sum_{k = 1}^{\infty} ({(- 1)}^{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}})

Was als Argumente in Cosinus stehen sollte dabei egal sein, da

- 1 \leq cos \leq 1

immer gilt.
Es sollte also auch gelten, dass

\sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{sin (n \cdot π)}{\sqrt{n}})

umgeschrieben werden kann zu

\sum_{k = 1}^{\infty} ({(- 1)}^{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}})

da für Sinus auch

- 1 \leq sin \leq 1

gilt.

Für die Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} ({(- 1)}^{n} \cdot sin (\frac{1}{n}))

bin ich am überlegen, wie ich sie umschreiben könnte. Da dort bereits

{(- 1)}^{n}

in der Summe vorhanden ist, würde es wohl nicht viel Sinn machen noch ein weiteres

{(- 1)}^{n}

für

sin (\frac{1}{n})

rein zu bringen.

Eine weitere Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} (cos (k \cdot π))

würde ich wiederum versuchen zu

\sum_{k = 1}^{\infty} ({(- 1)}^{n})

umzuschreiben, jedoch wie ich dann ein Reihenkonvergenzkriterium darauf noch anwenden kann ist mir ein Rätsel. Bei geraden

k

würde stets in Summe 0 rauskommen und bei ungeraden

k

würde stets

- 1

rauskommen oder sehe ich das falsch?

Vielen Dank schon einmal im Voraus,

InfoStudi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

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DrBoogie aktiv_icon

08:33 Uhr, 20.09.2017

"Was als Argumente in Cosinus stehen sollte dabei egal sein, da −1≤cos≤1 immer gilt."

Nein, es ist nicht egal. Die Reihe

\sum \frac{\cos (π n)}{\sqrt{n}}

konvergiert tatsächlich, nach Leibniz-Kriterium, weil

\cos (π n) = (- 1)^{n}

.
Aber z.B. die Reihe

\sum \frac{\cos (n)}{\sqrt{n}}

konvergiert nicht mehr.

"Für die Reihe ∑k=1∞((−1)n⋅sin(1n)) bin ich am überlegen, wie ich sie umschreiben könnte. Da dort bereits (−1)n in der Summe vorhanden ist, würde es wohl nicht viel Sinn machen noch ein weiteres (−1)n für sin(1n) rein zu bringen."

Es wäre sogar total falsch, denn

\sin (1 / n)

ist keineswegs

(- 1)^{n}

.
Du kannst es gar nicht umschreiben, aber Du kannst Folgendes nutzen:

\sin (1 / n)

konvergiert gegen

0

und verhält sich bei großen

n

ungefähr wie

1 / n

.

"Eine weitere Reihe ∑k=1∞(cos(k⋅π)) würde ich wiederum versuchen zu ∑k=1∞((−1)n) umzuschreiben, jedoch wie ich dann ein Reihenkonvergenzkriterium darauf noch anwenden kann ist mir ein Rätsel. Bei geraden k würde stets in Summe 0 rauskommen und bei ungeraden k würde stets −1 rauskommen oder sehe ich das falsch?"

Das ist richtig, aber es geht einfacher. Die Reihe ist divergent, weil das notwendige Kriterium nicht erfüllt ist, denn

\cos (n π)

konvergiert NICHT gegen

0

InfoStudi aktiv_icon

12:18 Uhr, 20.09.2017

Hallo DrBoogie,

danke für deine Antwort. Jetzt stehe ich gefühlsmäßig wieder am Anfang meiner Überlegungen. Muss ich dann ehr auswendig beherrschen bei welchem Argument sich Sinus und Cosinus wie verhalten? Wie kann ich dann richtig erkennen wie ich mit cosinus bzw. sinus bei einer Reihenkonvergenzüberprüfung umzugehen habe und wie stark muss ich dabei ihre Argumente berücksichtigen? Ich hatte gehofft ein Muster erkannt zu haben. Spielt es dann doch keine Rolle dass sich sinus und cosinus beide im Intervall

[- 1,1]

bewegen?

Oder gehe ich die Vorüberlegungen zur Überprüfung der Reihenkonvergenz vollkommen falsch an?
Womit ich auch Probleme für mich generell bei derartigen Überprüfungen habe ist, dass ich nicht weiss ab wann ich abschätzen darf. Darf ich das zu jedem Zeitpunkt?

Liebe Grüße und vielen Dank,

InfoStudi

anonymous

13:04 Uhr, 20.09.2017

Hallo
Ergänzend und nur um Missverständnissen vorzubeugen:
Ich/wir ahne, dass du stets

\sum_{n = 1}

meinst, auch wenn du immer "k" schreibst.

Sonst wäre das rein formal eine Summe unendlich vieler Konstanten und dann bei weitem nicht konvergent.

DrBoogie aktiv_icon

13:09 Uhr, 20.09.2017

"Muss ich dann ehr auswendig beherrschen bei welchem Argument sich Sinus und Cosinus wie verhalten?"

Gewiss nicht.

"Wie kann ich dann richtig erkennen wie ich mit cosinus bzw. sinus bei einer Reihenkonvergenzüberprüfung umzugehen habe und wie stark muss ich dabei ihre Argumente berücksichtigen?"

Sagen wir mal so - normalerweise muss man Argumente nur dann berücksichtigen, wenn
für diese Argumente Kosinus/Sinus direkt berechenbar sind, Beispiel

n π

oder auch

2 n π + π / 2

.

Die Aufgaben, wo Argumente wichtig sind, aber nicht direkt berechenbar wie

\sum \frac{\cos (n)}{n}

, sind sehr selten.

In den meisten Fällen ist es nur wichtig, dass Kosinus/Sinus beschränkt sind, die Argumente spielen dann keine Rolle, wie z.B. in

\sum \frac{\cos (n)}{n^{2}}

, was absolut konvergent ist, weil durch

\sum \frac{1}{n^{2}}

majoriert.

InfoStudi aktiv_icon

13:10 Uhr, 20.09.2017

Hallo kreador

Ja, ich habe mich an die Notation in meinen Unterlagen gehalten, dort wird bei Reihen im Kapitel zur Reihenkonvergenz

k

anstelle von

n

verwendet. Ich hätte noch

k \in ℕ

angeben müssen.

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