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Kurvendiskussion - ganzrationale Funktionenscharen

Schüler Gymnasium,

Tags: Extremstellen, Funktionenschar, Kurvendiskussion, Parameter

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Edit-Eddie

Edit-Eddie aktiv_icon

17:51 Uhr, 05.12.2013

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Hallöchen :-)

Ich sitze grade an einer Kurvendiskussion mit ganzrationalen Funktionenscharen und bin ein wenig am verzweifeln..
die Funktion lautet :

fk(x)

= k^{2} x^{3} + 6 k x^{2} + 9 x

Ich habe jetzt den Schnittpunkt mit der y-Achse berechnet, der ist ja

S (\frac{0}{0})

.
Als ich jetzt bei den Extremstellen dran war hatte ich folgende Ergebnisse raus..

einmal

x = - \frac{1}{k}

und einmal

x = - \frac{3}{k}

Wenn ich diese Werte jetzt oben in die Anfangsfunktion einsetze erhalte ich ja bei der ersten Nullstelle zum Beispiel :

- 3 \frac{k^{2}}{k^{3}} - 12 \frac{k}{k^{2}} - \frac{9}{k}

Meine Frage ist jetzt, ob ich die

k' s

einfach so wegkürzen kann oder ob das nicht geht ?! Also so, dass ich dann :

- \frac{3}{k} - \frac{12}{k} - \frac{9}{k}

erhalte und das dann einfach ausrechnen kann zu

- \frac{24}{k}

und dass dann der Tiefpunkt in dem Fall bei

T (- \frac{1}{k}

und

- \frac{24}{k})

liegt.

Oder liege ich mit meinen Rechnungen völlig daneben ?!

\frac{:}{}

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte :-)

Lg,
Edit-Eddie

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

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Antwort

Eva88

Eva88 aktiv_icon

18:10 Uhr, 05.12.2013

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Deine Extremwerte ( X-Werte ) habe ich auch. Wenn du die in

f (x)

einsetzt, erhälst du die Y-Werte zu den Extremwerten.

Die

k' s

darfst du kürzen.

Ich habe für

x_{2} = - \frac{3}{k}

den Y-Wert 0 raus.

Edit-Eddie

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18:17 Uhr, 05.12.2013

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Okay, perfekt :-)

Jetzt habe ich beide x-Werte der Extremstellen in die Formel eingegeben und habe für beide

y = 0

rausbekommen.
Kann das sein?

Antwort

Eva88

Eva88 aktiv_icon

18:19 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Den Y-Wert für

x = - \frac{1}{k}

habe ich noch nicht. Einen Moment bitte.

Antwort

Eva88

Eva88 aktiv_icon

18:22 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Habe ich auch. Hab mal ne Skizze angehängt.

Schar

Edit-Eddie

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18:27 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Oh super, dankeschön!:-)

Ich musste jetzt auch noch weiterrechnen und den Wendepunkt bestimmen.
Also wäre die 2. Ableitung dann ja :

f"k(x)

= 6 k^{2} x + 12 k

Als

x

Wert habe ich dann

- \frac{2}{k}

raus.

Als ich den Wert dann wieder in die normale Funktion eingesetzt habe, kam auch wieder

- \frac{2}{k}

raus.
Das kommt mir irgendwie so unlogisch vor.. aber kann das trotzdem sein?

Antwort

Eva88

Eva88 aktiv_icon

18:31 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Als X-Wert für den

W_{P}

habe ich auch

- \frac{2}{k}

raus. Für den Y-Wert allerdings

- \frac{20}{k}

Edit-Eddie

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18:39 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Wie genau bist du dadrauf bekommen wenn ich fragen darf ?:/

Antwort

Eva88

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18:42 Uhr, 05.12.2013

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k^{2} \cdot {(- \frac{2}{k})}^{3} + 6 k \cdot (\frac{4}{k^{2}}) + 9 \cdot (- \frac{2}{k})

- \frac{8}{k} + \frac{24}{k} - \frac{18}{k} = - \frac{2}{k}

hast Recht gehabt.

Edit-Eddie

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18:44 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Okay :-)

Wenn es nichts ausmacht hätte ich gerne noch ein paar fragen

. . : s

Wenn jetzt die nächste Aufgabe ist:
Zeige, dass alle Graphen Gk immer durch den Punkt

p (0; 0)

verlaufen,

muss ich dann die Funktion

= 0

setzen und für alle

x

auch 0 einsetzen sodass da am Ende nur noch steht :

0 = 0

?

Antwort

Eva88

Eva88 aktiv_icon

18:48 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Genau, Nullstellen berechnen Und eine Nullstelle finden die nicht von

k

abhängig ist und wo der X_Wert 0 ist.

k^{2} \cdot x^{3} + 6 k \cdot x^{2} + 9 x = 0

x (k^{2} \cdot x^{2} + 6 k \cdot x + 9) = 0

x_{1} = 0

fertig

Edit-Eddie

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18:54 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Und wenn dann die nächste Aufgabe ist :
Bestimme den Parameter

k

so, dass Gk durch den Punkt

(- 1; - 1)

verläuft.

Muss ich dann die Funktion

= - 1

setzen und für

x

auch wieder

- 1

einsetzen und dann nach

k

auflösen?

Antwort

Eva88

Eva88 aktiv_icon

18:55 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Genau, setze für

x = - 1

ein und für

y

.

Löse nach

k

auf.

Edit-Eddie

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18:59 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Okay :-)

Also ich hab da jetzt

- 2

raus ..

Antwort

Eva88

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19:02 Uhr, 05.12.2013

Antworten

- k^{2} + 6 k - 9 = - 1

- k^{2} + 6 k - 8 = 0

k^{2} - 6 k + 8 = 0

k_{1 | 2} = 3 \pm \sqrt{9 - 8}

k_{1 | 2} = 3 \pm 1

k_{1} = 2

k_{2} = 4

Edit-Eddie

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19:07 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Oh .. Ich hab das so gerechnet ..

- 1 = - k^{2} + 6 k - 9

8 = - k^{2} + 6 k

8 + k^{2} = 6 k

8 + k = 6

k = - 2

Antwort

Eva88

Eva88 aktiv_icon

19:08 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Das ist falsch. Du kannst

k

nur ausklammern, wenn in jedem Summanden ein

k

vorkommt.

Edit-Eddie

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19:13 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Oh okay..also wären die Parameter dann 2 und 4 oder ?

Und wenn man den Parameter so bestimmen muss, dass Gk an der Stelle

x = - 1

einen extrempunkt besitzt habe ich mir gedacht dass man ja die erste Ableitung bilden könnte, in der dann jedes

x

mit

- 1

ersetzen und die Funktion gleich 0 setzen ..und dann wieder nach

k

auflösen ..
Oder geht das nicht ?

Antwort

Eva88

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19:15 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Genauso machen. In die erste Ableitung für

x = - 1

einsetzen.

Edit-Eddie

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19:32 Uhr, 05.12.2013

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Okay.. Da hab ich jetzt irgendwie einmal

11,7

ungefähr und einmal

1,7

raus ..

Antwort

Eva88

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19:36 Uhr, 05.12.2013

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Nein, ist falsch.

f_{k}' (x) = 3 k^{2} \cdot x^{2} + 12 k \cdot x + 9

0 setzen und für

x = - 1

einsetzen.

3 k^{2} - 12 k + 9 = 0

k^{2} - 4 k + 3

k_{1 | 2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3}

k_{1} = 1

k_{2} = 3

Edit-Eddie

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19:39 Uhr, 05.12.2013

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Oh ja stimmt .. Blöder Rechenfehler ..

Alles klar .. Letzte Aufgabe ..

Bestimme die Gleichung der wendetangente von Gk..
Da weiß ich leider gar nicht wo ich wie anfangen soll.. Weiß zwar wie es geht aber nicht wo die wendetangemte hinsoll..

Antwort

Eva88

Eva88 aktiv_icon

19:44 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt. Also erst den

W_{P}

mit

x

und

y

bestimmen. Dann die Steigung im

W_{P}

mit der ersten Ableitung bestimmen.

y = m \cdot x + b

Antwort

Eva88

Eva88 aktiv_icon

19:51 Uhr, 05.12.2013

Antworten

X

und

y

für

W_{P}

kennen wir ja schon. Wenn ich

x \in f' (x)

einsetze kriege ich

- 3

raus.

y = m \cdot x + b

- \frac{2}{k} = - 3 \cdot - \frac{2}{k} + b

b = - \frac{8}{k}

y = - 3 x - \frac{8}{k}

Edit-Eddie

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19:52 Uhr, 05.12.2013

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Dann hab ich jetzt für die Gleichung der wendetangente :

Y = - 3 x + \frac{4}{k}

raus ..

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Eva88

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19:54 Uhr, 05.12.2013

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Schau mal was ich gerechnet habe.

Edit-Eddie

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19:56 Uhr, 05.12.2013

Antworten

Oh .. Hab meinen Fehler gefunden ..

Danke für die ganze Hilfe!!! Glaube aber trotzdem dass die Klausur morgen leider nicht so prickelnd wird :-P)

: S

Liebe Grüße !

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Eva88

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19:58 Uhr, 05.12.2013

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Na denn viel Glück!

Antwort

Eva88

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19:59 Uhr, 05.12.2013

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Dann schließ die Frage bitte.

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