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Länge kürzester Strecke bei zwei parabeln
Schüler Gymnasium,
Tags: Extremalaufgabe, Oberstufe, Parabel, punkte auf den graphen, streckenberechnung
 
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Hallo zusammen, Ich brauche bei dieser Aufgabe Hilfe. Ich vermute, dass man hier den Abstand der zwei Parabeln bestimmen muss , indem man die eine Funktion der Parabel mit der anderen subtrahiert und eine neue Funktion hat die den Abstand der Parabeln zueinander an jener Stelle angibt. Jedoch bin ich mir nicht so sicher und wollte euch fragen , ob man das hier so wirklich machen soll oder ist die Aufgabe eine komplett andere  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff) Parabel (Mathematischer Grundbegriff) Quadratische Ergänzung Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Ich vermute, dass man hier den Abstand der zwei Parabeln bestimmen muss , Was soll das denn sein, der "Abstand der zwei Parabeln"? indem man die eine Funktion der Parabel mit der anderen subtrahiert und eine neue Funktion hat die den Abstand der Parabeln zueinander an jener Stelle angibt. Du drückst das eigenartig aus. Gut möglich, dass das so gemeint ist, aber in der Angabe steht nichts davon, dass die beiden Punkte (je einer auf einer der beiden Parabeln) die gleiche x-Koordinate haben sollen. So wie die Angabe formuliert ist läuft das auf eine Extremwertsaufgabe mit einer Funktion in zwei Variablen hinaus. Habt ihr derartiges im Unterricht besprochen? Falls nicht, dann könnte deine Annahme, dass es sich nur um einen senkrechte "Abstand" handeln soll, durchaus der Intention des Aufgabenstellers entsprechen. Allerdings legt der angegebene "Tipp" den Verdacht nahe, dass es sich doch nicht um eine schlampig/unvollständig formulierte Angabe handelt, sondern tatsächlich das Minimum einer Funktion in zwei Variablen (die x-Koordinaten der beiden Punkte) bestimmt werden soll. Nebenbei gesagt stimmt bei der Angabe der Graph von nicht mit der gegebenen Funktionsgleichung überein. Mit würde der Graph hinkommen. |
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Ja extremwertaufgaben haben wir gemacht. Wie muss ich denn jetzt diese Aufgabe angehen? |
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Ja extremwertaufgaben haben wir gemacht. Auch mit Funktionen in zwei Variablen, also etwas wie ? Wie muss ich denn jetzt diese Aufgabe angehen? Eine Möglichkeit ist, einen allgemeinen Punkt auf dem Graph von und einen weiteren Punkt auf dem Graph von anzunehmen und allgemein ihren Abstand (besser: das Quadrat desselben) als Funktion von und auszudrücken. Diese Funktion ist dann zu minimieren. Also Gradient Null setzen, Hesse-Matrix, etc. Alternativ kann man vl auch über die Überlegung, dass der gesuchte kürzeste Abstand auf einer gemeinsamen Kurvennormalen der beiden Parabeln liegen muss, um Ziel kommen. Die entstehenden Werte sind jedenfalls nicht sonderlich "schön", sodass ich vermute, dass ihr entsprechende Technologie zB zum Lösen des nichtlinearen Gleichungssystems benutzen dürft. Bevor du die Aufgabe in Angriff nimmst solltest du aber die Angabe klären. Entweder ist so wie das in der Angabe steht (dann stimmt die beigefügte Zeichnung aber nicht), oder aber es soll (entsprechend der Zeichnung) sein. Beigefügte Zeichnung geht von letzterem aus und zeigt in rot den kürzesten Abstand (ca. und in orange den kürzesten Vertikalabstand so wie von dir ursprünglich interpretiert.  |
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Vielen Dank jetzt erscheint mir alles sinnvoller. Ich glaub ich entscheide mich für die erste möglichkeit. Müsste ich dann für den Abstand Bzw für die Funktion die den Abstand dieser Punkte angibt , nach pythagoras berechnen —> (siehe Datei) Könntest du mir eventuell dein Rechenweg der Lösung senden? (Damit ich dann auch meine Rechnung vergleichen kann ) Eine Frage hätte ich da noch, was ist mit „ (besser: das Quadrat desselben)“ gemeint ? Ich habe den Tipp meines Lehrers gar nicht wirklich verstanden „ das Quadrat der Länge“ ) was soll das heißen ?  |
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Müsste ich dann für den Abstand Bzw für die Funktion die den Abstand dieser Punkte angibt , nach pythagoras berechnen Ja, genau! Und da bei dieser Formel ein Wurzel vorkommt und diese beim Ableiten und Gleichung(ssystem) lösen eher unangenehm ist, kann man anstelle des Abstands selbst sein Quadrat verwenden, also die Wurzel einfach weg lassen. Denn wenn das Quadrat des Abstands ein Minimum ist, dann ist der (immer positive) Abstand sicher auch ein Minimum. Es handelt sich bei diesem Tipp also einfach um eine Rechenvereinfachung. Meine komplette Rechnung findest du im Anhang :-) Wenn du Probleme mit der Lösung hast, dann poste einfach deinen Lösungsversuch, soweit er schon gediehen ist und erkläre kurz, woran es scheitert.  |
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Das heißt sein Quadrat wäre dann die der Klammern und ich müsste weiter rechnen mit und damit wäre dann das Quadrat der Länge gemeint richtig? |
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ich müsste weiter rechnen mit d(x)=(x1−x2)+(y1−y2) Nein! Du hast doch den Ausdruck, der den Abstand berechnet, vorhin richtig gepostet. Wenn du nun das Quadrat des Abstands nimmst, fällt nur die Wurzel weg, alles andere, insbesondere die Quadrate bleiben! |
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Ah okay. Meine falsche Aussage lag daran, dass ich die Aussage „wenn das Quadrat des Abstands ein Minimum ist, dann ist der (immer positive) Abstand sicher auch ein Minimum“ Nicht ganz nach voll ziehen konnte ( verstanden habe ich den Quadrat des Abstands in dem man dann die Wurzel ( des Abstands )quadriert , sodass die Wurzel weg fällt und man weiter Rechnet oder nicht ? |
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in dem man dann die Wurzel ( des Abstands )quadriert Nein, nicht die Wurzel des Abstands wird quadriert - da würde man ja genau beim Abstand landen. Die Abstandsfunktion ist uns zu unangenehm beim Rechnen und da wir ja nur wissen wollen, für welche Eingabewerte sie ein Minimum annimmt, untersuchen wir lieber eine neue Funktion welche sich durch Quadrieren der Abstandsfunktion ergibt (dabei fällt einfach die Wurzel weg). Die beiden (durchaus unterschiedlichen) Funktionen und haben an der gleichen Stelle ihr Minimum. Finden wir das Minimum von dann haben wir daher auch das was uns eigentlich interessiert, nämlich das Minimum von . Welche Hilfsmittel darfst du denn für diese Aufgabe verwenden und hast du schon geklärt, wie die Funktion tatsächlich aussehen soll? |
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Wir dürfen unser GTR für diese Aufgabe verwenden , nur weiß ich nicht wie ich Xf und Xg ( Anhang ) einsetzten soll , geht ja im Prinzip nicht . Deshalb weiß ich nicht wie ich weiter rechnen soll ? Wie aussieht haben wir doch im Prinzip schon auf diesem AB gegeben oder nicht?  |
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Wir dürfen unser GTR für diese Aufgabe verwenden , nur weiß ich nicht wie ich Xf und Xg ( Anhang ) einsetzten soll , geht ja im Prinzip nicht . Deshalb weiß ich nicht wie ich weiter rechnen soll ? Wie aussieht haben wir doch im Prinzip schon auf diesem AB gegeben oder nicht?  |
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Du müsstest bei f einsetzen und bei g einsetzen, das ergibt dann einen ziemlich fürchterlichen Ausdruck. Ich habe keine Idee, wie man das analytisch lösen kann. Vielleicht ist es wirklich darauf angelegt, dass man mit dem GTR einen (Näherungs-)Wert berechnet. |
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| Ehrlich gesagt weiß ich es auch nicht. Naja, ich muss dann anscheinend irgendwie weiter Knobeln |
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Ehrlich gesagt weiß ich es auch nicht. Naja, ich muss dann anscheinend irgendwie weiter Knobeln. Danke für deine große Mühe du hast mich echt viel weiter gebracht als am Anfang. |
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nur weiß ich nicht wie ich Xf und Xg ( Anhang ) einsetzten soll , geht ja im Prinzip nicht . Was geht nicht?? Der Punkt hat die Koordinaten analog mit bei . Und deine Funktion ist keine sondern also eine von zwei Variablen abhängige Funktion. Ich hatte dich ja gefragt, ob ihr sowas im Unterricht hattet un du weißt, wie man da Extremwerte berechnet. Die Funktion mit dem quadrierten Funktionsterm, als die ohne der Wurzel, solltest du nicht auch nennen. Gleiche Bezeichnung sollte innerhalb einer Rechnung auch Gleiches bedeuten. Du kannst die neue Funktion ja nennen oder so wie ich eben . Wie aussieht haben wir doch im Prinzip schon auf diesem AB gegeben oder nicht? Du meinst ja? Naja, wie oben bereits zweimal geschrieben passt die gegebene Funktion nicht zur gegebenen Grafik. Es geht darum, ob es "32" (wie angegeben) oder "33" (passt zur Zeichnung) lauten soll. Aber beide führen zu keiner "schönen" Lösung. Mein CAS schafft zwar eine symbolische Lösung, aber die ist alles andere als kompakt. Ich hoffe dein GTR kann dieses Gleichungssystem numerisch lösen. Was für die Variante "33" rauskommt hab ich dir ja oben bereits zur Kontrolle gezeigt. |
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Ja wir hatten sowas gemacht, nur ist es etwas länger her und ich weiß nicht, wie ich das berechnen soll wenn es von zwei Variablen abhängt. Muss ich einmal nach Xf auflösen und dann nach Xg oder wie ? |
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Ja wir hatten sowas gemacht, nur ist es etwas länger her und ich weiß nicht, wie ich das berechnen soll wenn es von zwei Variablen abhängt. Dann solltest du das nachschlagen! Du musst den Gradienten Null setzen. . die beiden partiellen Ableitungen von nach und bilden und beide Null setzen. Dieses Gleichungssystem in und ist dann eben zu lösen und das kann hoffentlich dein GTR. |
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Das heißt, ich muss d2(Xf, Xg) = (Xf- Xg)^2 f(Xf) Xg) einmal nach Xg auflösen und einmal nach Xf richtig? Die beiden dann nullstellen und mit der neuen Funktion dann den minimum berechnen. Wie sieht das Ganze dann aus , hast du dafür ein rechenweg? Kurze Anmerkung : mir fällt grad auf , nein wir haben noch nie sowas gemacht Zwar mit mehreren Variablen in extremalaufgaben gearbeitet aber nicht mit sowas deshalb bin ich komplett verwirrt. Jedoch ist mein Lehrer so einer, bei dem man etwas selber lernen muss , bevor er es selber beibringt. und genau das erwartet er bei dieser Aufgabe von uns anscheinend |
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Das heißt, ich muss d2(Xf, Xg) = (Xf- Xg)^2 f(Xf) −g( Xg) einmal nach Xg auflösen und einmal nach Xf richtig? Nein! Was willst du da "auflösen"? Partiell ableiten, differenzieren, musst du, wie oben doch schon gesagt! Die beiden dann nullstellen Die beiden Ableitungen, ja - wie schon gesagt und mit der neuen Funktion dann den minimum berechnen. ?? Was meinst du da? Welche neue Funkton? Wie sieht das Ganze dann aus , hast du dafür ein rechenweg? Wie vorhin und auch jetzt gerade beschrieben, Das IST der Rechenweg. Rechnen musst du schon selbst. |
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Okay danke für alles und Vor allem für die Mühe :-) |
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Es fehlte bisher die Verbindung zwischen und . Die kürzest-mögliche Verbindungslinie steht aber senkrecht auf beiden Graphen, d.h. die Steigung ist die gleiche: . Daraus ergibt sich: . Bei der weiteren Rechnung habe ich noch einen Fehler drin, aber am Ende, wenn man abgeleitet hat, kommt "nur noch" eine Gleichung 3. Grades raus, mit nur einer ("krummen") Nullstelle. |
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Im Prinzip dann doch der senkrechte Abstand von der einen Parabel zum anderen? |
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Im Prinzip dann doch der senkrechte Abstand von der einen Parabel zum anderen? Nein, das wär doch zu trivial. Doerrby schreibt doch "senkrecht auf die beiden Graphen", nicht senkrecht zur x-Achse. Dahinter steckt, wie ich oben schon ausgeführt hatte, dass die Lösungsstrecke auf einer gemeinsamen Normalen beider Parabeln liegen muss. Schau dir die rote Strecke in meiner zeichnung oben an. Die steht senkrecht auf und auf . . dass die beiden Parabeln in den jeweiligen Endpunkten der Strecke die gleiche Steigung aufweisen. Wenn ich Doerrby richtig verstehe, dann denkt er ein Mischmasch an aus den beiden Lösungsansätzen, die ich oben angegeben hatte. Einerseits setzt er die Distanzfunktion (oder deren Quadrat) wie schon besprochen an und die ist von und abhängig. Anstatt aber eine normale Extremwertsaufgabe mit zwei Unbekannten mit partiellen Ableitungen und Gleichungssystem durchzuführen, holt er sich eine Gleichung in und aus der Tatsache, dass die Steigung von an der Stelle übereinstimmen muss mit der Steigung von an der Stelle . Diese Beziehung könntest du nun zB nach auflösen und in die Distanzfunktion einsetzen, die dann nur mehr von abhängig ist. Dann Ableiten, Nullsetzen, . Der Aufwand bei beiden Methoden und auch bei dieser von Doerrby vorgeschlagenen Mischnmethode ist ähnlich und führt auch auf gleichwertige Gleichungen. |
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Die Aufgabenstellung verstehe ich so, dass die kürzest-mögliche Entfernung (= Definition Abstand) zwischen den Parabeln gefunden werden soll, also senkrecht zu beiden Parabeln. Ich würde aber sagen, das hängt auch von deinem Mathe-Kurs ab: Ein Mathe-LK an einem Elite-Gymnasium könnte das hinkriegen, ein Mathe-GK, der noch nicht viele Extremwert-Aufgaben gemacht hat, sollte mal den Mathe-Lehrer fragen, ob das wirklich so gemeint ist. |
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Ich befinde mich zwar in einem LK, jedoch haben wir eine Aufgabe derart zuvor nicht bearbeitet und beschäftigen uns nicht lange mit sowas. Ich werde am Wochenende mir das ganze genauer angucken und in Ruhe bearbeiten. Mal sehen ob ich das mit eurer Hilfe schaffen werde und werde dann wahrscheinlich bei Rückfragen mich melden. Danke allerseits |
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Der Vollständigkeit halber: Den minimalen Abstand berechnet man, indem man das Minimum von (Pythagoras) bestimmt. deshalb, weil man dann nicht mit Wurzeln kämpfen muss. Die kürzeste Verbindungsstrecke steht senkrecht auf beiden Graphen (s.o.), daraus ergibt sich -> Einsetzen: Die erste Klammer (3 3 Summanden) fasst sich zusammen zu: , somit: und Diese Ableitung wird =0 gesetzt und mit Lösungsformel oder Newton'schem Näherungsverfahren bestimmt. Daraus berechnen sich die weiteren Größen: -> |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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