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Lagrange - Abstand Punkt von Parabel

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Abstand, Abstand minimal, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Lagrang'sche Multiplikatoren, Parabel

Manuel91 aktiv_icon

22:03 Uhr, 04.06.2017

Hey Leute, ich habe eine kleine Verständnisfrage bzw. hänge ich bei einer Rechnung momentan ziemlich.

Folgende Aufgabe:

"Mit Hilfe der Lagrangeschen Regel bestimme man

(a)

den kleinsten Abstand der Geraden ax

+

= c

vom Nullpunkt und

(b)

den kleinsten Abstand des Punktes

(3,12)

von der Parabel

y^{2} =

6x."

Mich verwirren bei Punkt a die allgemeinen Werte

a, b

und

c

ein wenig.
Habe im Internet die Formel für den minimalen Abstand gefunden, die da wäre:

d = \sqrt{{(x - x 0)}^{2} + {(y - y 0)}^{2}}

Wenn ich hier meinen Nullpunkt einsetze erhalte ich einfach

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

und das ergibt doch einfach

x + y

oder nicht?
Wie rechne ich dann weiter?

Bei Punkt

b

habe ich dasselbe Problem:

Ich setze erst meine Parabel (Nebenbedingung) null. Für

d

habe ich dann

d = \sqrt{{(x - x 0)}^{2} + {(y - y 0)}^{2}} = \sqrt{{(x - 3)}^{2} + {(y - 12)}^{2}}

. Jetzt weiß ich allerdings nicht ob es klüger ist das ganze auszumultiplizieren oder es einfach so stehen zu lassen und damit weiterzurechnen. Ohne ausmultiplizieren erhalte ich dann als Lagrange-Funktion

L (x, y, λ) = \sqrt{{(x - 3)}^{2} + {(y - 12)}^{2}} + λ \cdot (y^{2} - 6 x)

Grundsätzlich würde ich jetzt drei Mal die erste Ableitung bilden, einmal nach

x,

dann nach

y

und einmal nach

λ

oder ist das hier nicht notwendig?

Würde mich über jede Hilfe freuen.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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ledum aktiv_icon

01:03 Uhr, 05.06.2017

Hallo
erschreckend an deinem post ist sort(x^2+y^2)=x+y
sort(1^2+1^2)=sqrt(2)=1+1=2

d

ist nicht "der kleinste Abstand) sondern einfach nach Pythagoras die Länge der Strecke zwischen

(x, y)

und

(x_{0}, y_{0})

für die Parabel hast du den Lagrange Ansatz schon richtig, Ohne Ausmultiplizieren ist das Ableiten einfacher.
Mit der Geraden genauso umgehen wie mit der Parabel, das Min hängt dann eben von

a, b

ab warum stört dich das. zur Kontrolle kennst du vielleicht von der Schule noch die Hessische Normalform?
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

08:46 Uhr, 05.06.2017

Habe wohl nen richtigen Anfängerfehler gemacht nach mehreren Stunden lernen, genauso wie hier beschrieben: www.onlinemathe.de/forum/Wurzel-aus-a2-b2-ist-nicht-gleich-a-b

Werde mal versuchen das ganze abzuleiten und weiterzurechnen und dann mein Ergebnis posten. Danke auf jeden Fall für deine Antwort!

LG

Manuel91 aktiv_icon

09:24 Uhr, 05.06.2017

Hallo ich hänge schon wieder fest. Ich weiß, dass wenn ich

x

und

y

bestimmt habe, muss ich nur mehr in die Abstandsformel einsetzen und habe mein Ergebnis.

Erstmal meine Ableitungen nach

x, y

und

λ :

= \frac{x - 3}{\sqrt{{(x - 3)}^{2} + {(y - 12)}^{2}}} - 6 λ

= \frac{y - 12}{\sqrt{{(x - 3)}^{2} + {(y - 12)}^{2}}} + 2 λ y

L λ = y^{2} - 6 x

Danach habe ich alle Ableitungen null gesetzt und diejenigen nach

x

und

y

mit dem Nenner multipliziert um den Bruch wegzubekommen.

Habe nun also:

Lx

= x - 3 - 6 λ = 0

= y - 12 + 2 λ y = 0

L λ = y^{2} - 6 x = 0

Habe es jetzt auf zwei Arten versucht:

Einmal habe ich angenommen das

λ

gleich 0 ist. Da würde dann

x = 3

und

y = 12

herauskommen was doch sicher nicht stimmt oder? Dann wäre der kleinste Abstand gleich

0 .

.

Mein zweiter Versuch war in der 2. Gleichung

λ

durch

y

darzustellen. Dann erhalte ich

λ = - \frac{1}{2} + \frac{6}{y}

Das habe ich dann in die erste Gleichung eingesetzt und erhalte

x = - \frac{6}{y}

Dann habe ich

x

in die 3. Gleichung eingesetzt und erhalte somit

y = 6^{\frac{2}{3}},

was mich auf

x = - 6^{\frac{1}{3}}

führt.

Diese Werte kommen mir allerdings auch verdächtig vor. Kann das stimmen?

LG

ledum aktiv_icon

11:15 Uhr, 05.06.2017

Hallo
deine Ableitungen sind noch richtig, aber dann wieder ein dummer Fehler.
Wenn man mit dem Nenner Multiplakative. muss man JEDEN Summanden damit multiplizieren., du lässt einfach den Nenner weg!
also aufs Neue und sorgfältiger arbeiten, das sind Fehler, gegen die schon dein

L

in der Mittelstufe gekämpft hat.
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

16:25 Uhr, 05.06.2017

Oje... Naja in der Schule musste mein Lehrer zum Glück nicht dagegen kämpfen, 8 Jahre nach der Matura hingegen hätte er wahrscheinlich mehr zum kämpfen haha

Nun, meine drei Gleichungen lauten jetzt also:

x - 3 - 6 λ \cdot {[{(x - 3)}^{2} + {(y - 12)}^{2}]}^{\frac{1}{2}} = 0

y - 12 + 2 λ y \cdot {[{(x - 3)}^{2} + {(y - 12)}^{2}]}^{\frac{1}{2}} = 0

y^{2} - 6 x = 0

Ich stelle nun Gleichung 2 nach

λ

um und erhalte:

λ = \frac{y - 12}{- 2 \cdot y \cdot {[{(x - 3)}^{2} + {(y - 12)}^{2}]}^{\frac{1}{2}}}

Dann setze ich

λ

in Gleichung 1 ein und erhalte

x = \frac{36}{y}

Nun setze ich

x

in Gleichung 3 ein und erhalte

y^{2} - 6 \cdot \frac{36}{y} = 0 \to y^{2} - \frac{216}{y} = 0 \to y^{2} = \frac{216}{y} \to y^{3} = 216 \to

dritte Wurzel ziehen und ich erhalte

y = 6

Das setze ich nun in

x

ein und erhalte

x = \frac{36}{6} = 6

Das setze ich nun in

d = {[{(x - x 0)}^{2} + {(y - y 0)}^{2}]}^{\frac{1}{2}}

ein, also

d = {[{(6 - 3)}^{2} + {(6 - 12)}^{2}]}^{\frac{1}{2}} \to d = {[3^{2} + {(- 6)}^{2}]}^{\frac{1}{2}} \to d = {[9 + 36]}^{\frac{1}{2}} d = \sqrt{45}

Ist das die richtige Lösung? LG

ledum aktiv_icon

19:20 Uhr, 05.06.2017

Hallo
ich hab nicht alle Lösungsschritte überprüft, aber

d = \sqrt{45} = 3 \cdot \sqrt{5}

ist richtig,
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

19:48 Uhr, 05.06.2017

Danke vielmals für deine Hilfe! LG

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