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Matrizenmultiplikation mit sin/cos

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung, Trigonometrische Funktionen

Alissa23 aktiv_icon

12:52 Uhr, 29.05.2015

Hallo zusammen,

ich komme bei einer (vermeintlich simplen) Matrizenmultiplikation nicht weiter.

Ich habe folgende Rechnung:

[cos (x), - sin (x), 0; sin (x) cos (x) 0; 0, 0, 1] \cdot [0,39; 3,03; - 0,18] = [2,42; - 1,85; - 0,18]

ich benötige jetzt den Winkel

x

aus der

3 x 3

Matrix. Wenn man die grundlegenden Matrizenrechnung nutzt, ergeben sich die zwei Gleichungen

cos (x) \cdot 0,39 - sin (x) \cdot 3,03 = 2,42 (I)

sin (x) \cdot 0,39 + cos (x) \cdot 3,03 = - 1,85

(II)

Setzt man diese in eine Gleichung, erhält man:

cos (x) \cdot 0,39 - sin (x) \cdot 3,03 - 2,42 = sin (x) \cdot 0,39 + cos (x) \cdot 3,03 + - 1.85

cos (x) \cdot 0,39 - sin (x) \cdot 3,03 - 4,27 = sin (x) \cdot 0,39 + cos (x) \cdot 3,03

- 4,27 = cos (x) \cdot 0,39 + sin (x) \cdot 3,03 + sin (x) \cdot 0,39 + cos (x) \cdot 3,03

- 4,27 = sin (x) \cdot 3,42 + cos (x) \cdot 3,42

- \frac{4,27}{3,42} = sin (x) + cos (x)

- \frac{4,27}{3,42} = \sqrt{2} \cdot sin (x + \frac{π}{4})

- \frac{4,27}{3,42} \cdot \sqrt{2} = sin (x + \frac{π}{4})

arcsin

(- \frac{4,27}{3,42} \cdot \sqrt{2}) = x + \frac{π}{4}

x ≅ - 1.8673 ≅

-106°

Ich weiß aber, dass das Ergebnis nicht hinkommen kann, weil

x

ca.

\pm

120/240° sein muss.

Für eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar!
Lieben Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

13:08 Uhr, 29.05.2015

Vorzeichenfehler entfernen hilft gelegentlich

Atlantik aktiv_icon

13:09 Uhr, 29.05.2015

) 0,39 \cdot cos (x) - 3,03 \cdot sin (x) = 2,42

2 .) 0,39 \cdot sin (x) (x) + 3,03 \cdot cos (x) = - 1,85

... ... ... ... ... ... ... .

1 .) : 2 .) cot (x) - tan (x) \approx - 1,30811

... ...

cot (x) = \frac{1}{tan (x)}

\frac{1}{tan (x)} - tan (x) \approx - 1,30811 | \cdot tan (x)

1 - {tan}^{2} (x) \approx - 1,30811 \cdot tan (x)

{tan}^{2} (x) - 1,30811 \cdot tan (x) = 1

u^{2} - 1,30811 \cdot u = 1

u_{1} = - 0,541

u_{2} = 1,849

...

.
Guck auch mal nach Rechenfehlern von mir.

mfG

Atlantik

pleindespoir aktiv_icon

13:19 Uhr, 29.05.2015

Atlantik!

das war jetzt nicht wirklich ein Vorschlag, oder ?!

Alissa23 aktiv_icon

14:27 Uhr, 29.05.2015

Hallo ihr Beiden,

danke für die Rückmeldung.
@ Atlantik, dein Weg sieht deutlich eleganter aus.
Bis zu dem

{tan}^{2} (x) - 1,30811 \cdot tan (x) = 1

kann ich dir auch noch folgen.

Zu meiner Scham muss ich gestehen, dass ich es dennoch nicht schaffe mit deinen

u_{1}

bzw.

u_{2}

Werten das

x

auszurechnen

: (

pleindespoir aktiv_icon

16:01 Uhr, 29.05.2015

c o s (x) \cdot 0, 39 - s i n (x) \cdot 3, 03 = 2, 42 (I) ∣ * 0, 39 / 3, 03

s i n (x) \cdot 0, 39 + c o s (x) \cdot 3, 03 = - 1, 85 (I I) ∣

Summanden kommutativ tauschen

c o s (x) \cdot 0, 39 * 0, 39 / 3, 03 - s i n (x) \cdot 3, 03 * 0, 39 / 3, 03 = 2, 42 * 0, 39 / 3, 03

c o s (x) \cdot 3, 03 + s i n (x) \cdot 0, 39 = - 1, 85

I + II addieren

c o s (x) \cdot (3, 03 + 0, 39 * 0, 39 / 3, 03) = 2, 42 * 0, 39 / 3, 03 - 1, 85

wobei die Chance, dass die gewonnene Lösunsmenge später in das Original-Gleichungssystem reinpasst, ziemlich gering ist. Unbedingt Probe machen!

Es empfiehlt sich dann doch mal den Weg zu dem GLS gründlich zu überdenken...

Alissa23 aktiv_icon

17:08 Uhr, 29.05.2015

Hallo,

mit dem letzten Lösungsweg klappt es nun. Ich habe die Näherungswerte für

x,

die vorgeschlagene Lösung ist damit (auch bei den weiteren Zahlenbeispielen) konsistent.

Vielen Dank für die Hilfe.

pleindespoir aktiv_icon

22:41 Uhr, 29.05.2015

WOW!

Also das wundert mich schon.

Das x ist ja einerseits durch das Gleichungssystem bestimmt und muss dann aber auch passen, wenn es im Sinus mit drin ist.

Ich habs nicht nachgerechnet, und ich weiss ja auch nicht, wie Du auf das alles gekommen bist.

Eigentlich ist das System ja in der geposteten Form überbestimmt. Andererseits sind ja die Koeffizienten symmetrisch - also könnts auch so hinkommen.

a \cdot \sin x + b \cos x + a \cos x + b \sin x = c

ist ziemlich sicher nicht allgemeingültig - also irgendwo ist ein Zirkelschluss in Deiner Vorarbeit vermute ich mal ...

Möglicherweise hätte es bei der Herleitung bereits eine Vereinfachung geben können.

Aber Hauptsach es passt!

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