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Max. vertikal gemessene Höhe zwischen 2 Funktionen

Schüler Gesamtschule, 11. Klassenstufe

Tags: Differenzfunktion, Extremwert, Höhe, Höhepunkt, Kurvendiskussion, Randextrema, Skispringer

Abiturientin2015 aktiv_icon

17:20 Uhr, 05.10.2013

Hallo liebste Community!
Ich häng schon ein paar Stunden an meinen Hausaufgaben, bis jetzt lief alles super, aber leider bin ich jetzt bei einer Aufgabe angekommen, bei der ich total verzweifelt überlege und ausprobiere, aber nichts Gescheites dabei rauskommt.
Gegeben ist mir folgende Aufgabenstellung:

Ein Skispringer landet nach dem Verlassen der Schanze weiter talwärts auf dem sogenannten Aufsprunghang. Abbildung 1 zeigt das Profil dieses Aufsprunghanges. Dieses Profil kann durch die Funktion

f

mit der Gleichung

f (x) = 0,01 x^{3} - 0,1975 x^{2} - 0,05 x + 13

im Bereich

0 < x < 15

beschrieben werden. Der Graph der Funktion

g

mit

g (x) = - 0,13 x^{2} + 13,4

beschriebt die Flugbahn dieses Springers. Der Sprung startet bei

x = 0

. Hier befindet sich der Schanzentisch, der 4 Meter über dem Aufsprunghang liegt.

Soo und die Teilaufgabe lautet wie folgt:

Bestimmen Sie die Stelle, an der der Skispringer die maximale vertikal gemessene Höhe über dem Aufsprunghang erreicht. Berechnen Sie für diese Stelle die Höhe des Springers über dem Hang.

Bis jetzt habe ich nur recherchiert, dass man anscheinend die Differenzfunktion bilden soll

[d (x) = f (x) - g (x)]

und anschließend diese auf ihre Extrema untersuchen soll. Dies habe ich auch schon getan, jedoch ergeben meine Ergebnisse keinen Sinn. Und das ist mein bisheriger Lösungsansatz:

d (x) = 0,01 x^{3} - 0,0675 x^{2} - 0,05 x + 26,4

d' (x) = 0,03 x^{2} - 0,135 x - 0,05

d'' (x) = 0,06 x - 0,135

notw. Bed.:

d' (x) = 0

0 = 0,03 x^{2} - 0,135 x - 0,05 | : 0,03

0 = x^{2} - 4,5 x - \frac{5}{3}

p-q-Formel:

x 1,2 = \frac{4,5}{2} \pm

Wurzel aus

{(- \frac{4,5}{2})}^{2} + \frac{5}{3}

x 1,2 = 2,25 \pm 2,59

x 1 = 4,84 x 2 = - 0,34

(mögl. Extremstellen)

hinr. Bed.=

d'' (x)

ungleich

0 (< 0

HP;

> 0

TP)

d'' (4,84) = 0,16 \to

d'' (- 0,34) = - 0,16 \to

[

HIER SIEHT MAN SCHON, DASS DAS NICHT STIMMEN KANN, DA ICH DOCH DEN HP BRAUCHE UND DIESER NICHT NEGATIV SEIN KANN, DA DER GRAPH NUR IM POSITIVEN BEREICH LIEGT)

y-Koordinate:

d (- 0,34) = 26,41

Sooooooo, das wär's von mir. Ab hier hat mein Gehirn abgeschaltet. Kann natürlich auch sein, dass die Aufgabe nichts mit der Differenzfunktion zu tun hatte oder ich mich verrechnet habe.

Könnte mir da irgendwer weiterhelfen??

: S

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

herbert1 aktiv_icon

17:42 Uhr, 05.10.2013

Hallo Abiturientin2015,

ich habe nicht die Zeit, mir das genauer anzusehen.
Nur zwei Anmerkungen:

Die Flugbahn beginnt am Schanzentisch

4 m

über der Aufsprunghang. Ich kann auf die Schnelle nicht erkennen, dass Du das berücksichtigt hast.
Ist zunächst für Deine erste konkrete Frage auch nicht direkt relevant.

Wenn Du Dir das SChaubild anschaust, dann ist

g (x) > f (x), d . h

. dir Differenzfunktion

d (x) = f (x) - g (x)

wird sehr wohl negativ...

Vielleicht hilft Dir das schon weiter...

Viele Grüße
H.

rundblick aktiv_icon

18:16 Uhr, 05.10.2013

da die Flugbahn des Springers ( also:

g)

wohl oberhalb des Aufsprunghanges

(f)

verläuft, wäre es sinnvoll, als Differenzfunktion

d (x) = g (x) - f (x)

zu wählen
oder?

nun
du hast

f - g

gerechnet .. aber bei deiner Rechnung gleich zwei falsche Werte eingebaut:
die Konstante ist NICHT

26,4

und die Vorzahl von

x

ist nicht

- 0,05

egal

\to

rechne jetzt mal

g (x) - f (x)

hoffentlich richtig

- > . .

.

.. und ab da den Rest nochmal neu
ok?

Abiturientin2015 aktiv_icon

19:27 Uhr, 05.10.2013

Achso, okay. Ich dachte, das würde keinen Unterschied machen (wie es

z . B

. bei der Berechnung der Steigung mithilfe von 2 Punkten keinen Unterschied macht, ob man nun

y 2 - y 1

oder

y 1 - y 2

bzw.

x 2 - x 1

oder

x 1 - x 2

macht).
Vielen Dank!

rundblick aktiv_icon

19:52 Uhr, 05.10.2013

ja
im Prinzip spielt für das Auffinden des x-Wertes des Extremums das Gesamt-Vorzeichen
von

d (x)

hier keine entscheidende Rolle.

das Problem ist doch woanders: Du hast oben die Differenz

f - g

FALSCH berechnet !

und deshalb jetzt nochmal

\to

berechne doch als Erstes endlich mal die Differenz RICHTIG

Vorschlag: mach das neu und dann gleich mit

g (x) - f (x) = .

.
usw

Abiturientin2015 aktiv_icon

12:31 Uhr, 06.10.2013

Ich komme leider immer noch nicht weiter...auch wenn ich nun

f (x)

von

g (x)

abziehe, bekomme ich da

- 0,05 x

und

26,4

raus.

\cdot

Differenzfunktion bilden:

d (x) = - 0,13 x^{2} + 13,4 - 0,01 x^{3} - 0,1975 x^{2} - 0,05 x + 13

d (x) = - 0,01 x^{3} - 0,33 - 0,05 x + 26,4

Ich verstehe einfach nicht, was ich falsch mache.

herbert1 aktiv_icon

12:50 Uhr, 06.10.2013

Die Differenzfunktion stimmt schon einmal nicht...

d (x) = - 0,13 x^{2} + 13,4 - (0,01 x^{3} - 0,1975 x^{2} - 0,05 x + 13)

= - 0,13 x^{2} + 13,4 - 0,01 x^{3} + 0,1975 x^{2} + 0,05 x - 13

= - 0,01 x^{3} + 0,0675 x^{2} + 0,05 x + 0,4

(ich hoffe, ich habe alles korrekt abgeschrieben :-) )

Abiturientin2015 aktiv_icon

13:12 Uhr, 06.10.2013

Ach, das setzt man in Klammern und multipliziert es noch mit -1?! Mit der Formel

g (x) - f (x)

kann man das ja gar nicht wissen..

Nach der halben Rechnung kommt's aber irgendwie wieder da raus, wo wir eben schon mal waren:

d (x) = - 0,01 x^{3} + 0,0675 x^{2} + 0,05 x + 0,4

d' (x) = - 0,03 x^{2} + 0,135 x + 0,05

d'' (x) = - 0,06 x + 0,135

\cdot

notw. Bed.:

d' (x) = 0

0 = - 0,03 x^{2} + 0,135 x + 0,05 | : (- 0,03)

0 = x^{2} - 4,5 x - \frac{5}{3}

(↑ DIE SELBE GLEICHUNG WIE DAVOR, WAS BEDEUTET, DASS ICH DIE SELBEN EXTREMSTELLEN BEKOMMEN WERDE, WENN ICH DIE GLEICHUNG NUN IN DIE p-q-Formel EINSETZE)

: (

ich bin verzweifelt

herbert1 aktiv_icon

13:48 Uhr, 06.10.2013

Hallo,

bestimme nun noch einmal für die neu ermittelte 2. Ableitung die Werte.
Beachte, dass der höchste von

x

negativ ist.

(In Deiner Eingangsfrage war dieser positiv!)

herbert1 aktiv_icon

13:56 Uhr, 06.10.2013

Ergänzung zu Deiner Anmerkung:

"Ach, das setzt man in Klammern und multipliziert es noch mit -1?! Mit der Formel g(x)−f(x) kann man das ja gar nicht wissen.."

. .

. man sollte schon wissen, wie man Differenzen bildet und wie man mit diesen umgeht.
Ansonsten wird man viele Aufgaben nicht lösen können.

Das ist Grundlagenwissen.

Klammern wirst Du doch auch auflösen können, oder?

Abiturientin2015 aktiv_icon

14:01 Uhr, 06.10.2013

Klaar, ich hätte nur nicht gedacht, dass man das an dieser Stelle tun muss.

Okayyy:

\cdot

Hinr. Bed.:

d'' (x)

ungleich 0 (größer->TP; kleiner->HP)

d'' (4,84) = - 0,16 \to

d'' (- 0,34) = 0,16 \to

\cdot

y-Koordinate (ist die überhaupt relevant?)

d (4,84) = 1,09

HP(4,84|1,09)

Und nun? Was bringt mir das Ergebnis? :-P)

herbert1 aktiv_icon

14:16 Uhr, 06.10.2013

Schau Dir einmal die Graphik an, die Du eingefügt hast.

mit Deiner Funktion

d

hast Du ja die Differenzfunktion gebildet.

Was gilt denn nun an der Stelle

x_{1} = 4,84,

die Du ermittelt hast?
Was gibt die y-Koordinate an der Stelle wieder?

Abiturientin2015 aktiv_icon

14:22 Uhr, 06.10.2013

Gibt die x-Koordinate die "Stelle" an, an der der Skispringer die

max

. vertikal gemessene Höhe über dem Aufsprunghang erreicht und die y-Koordinate die Höhe des Springers über dem Hang??

Abiturientin2015 aktiv_icon

14:22 Uhr, 06.10.2013

Gibt die x-Koordinate die "Stelle" an, an der der Skispringer die

max

. vertikal gemessene Höhe über dem Aufsprunghang erreicht und die y-Koordinate die Höhe des Springers über dem Hang??

herbert1 aktiv_icon

15:10 Uhr, 06.10.2013

Ja, im Prinzip schon... Du kommst der Lösung schon recht nahe...

Jedoch wäre es ja schon seltsam, wenn der Springer nur maximal einen guten Meter über dem Aufsprunghang fliegen würde. Hast Du einmal Springspringen im Fernsehen gesehen?

Da ist noch die Angabe:
Der SChanzentisch befindet sich