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Minimalste Fläche berechnen

Schüler Gymnasium,

Tags: Flächeninhalt, Integral

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Xeon1400

Xeon1400 aktiv_icon

12:26 Uhr, 11.09.2011

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Hi,
Leider komm ich bei der unten genannten Aufgabe nicht weiter. Eine Erklärung währe echt nett !

Die Graphen der funktion

f (x) = a \cdot sin (x)

und

g (x) = - \frac{1}{a} \cdot sin (x)

begrenzen for xe

[

0;pi] eine Fläche. Für Welche Werte von a ist der Flächeninhalt minimal? Geben sie den minimal Inhalt an.

Vielen Danke
Xeon

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

prodomo

prodomo aktiv_icon

12:31 Uhr, 11.09.2011

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Bist du sicher, dass

f (x) = a \cdot sin (x)

und

g (x) = \frac{- 1}{a} \cdot sin (x)

heißen. Gleichsetzen ergäbe als Schnittbedingung

a^{2} = - 1!

Xeon1400

Xeon1400 aktiv_icon

12:35 Uhr, 11.09.2011

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Ja ich bin mir sicher, falls es weiter hilft ist aus dem Buch: "Analysis LeistungskurS Gesamtband",

S 171

Nr12

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prodomo

prodomo aktiv_icon

12:38 Uhr, 11.09.2011

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Vergiss meine erste Antwort ! Gemeint ist, dass

x = 0

bzw.

x = Π,

also

sin (x) = 0

sein soll. In beiden Fällen ist die Stammfunktion

- cos (x),

die Grenzen also 0 und

Π

. Das liefert

2 \cdot a + \frac{2}{a}

für die Fläche. Jetzt

A' (a)

und

A'' (a)

bilden, Tiefpunkt suchen !

Xeon1400

Xeon1400 aktiv_icon

12:50 Uhr, 11.09.2011

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Sorry aber wie kommst du auf 2⋅a+2a das ist mir nicht ganz klar.
kannst du das nochmal ausführlicher/genauer aufschreiben ?
Danke

: |

Antwort

prodomo

prodomo aktiv_icon

13:09 Uhr, 11.09.2011

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Die Grafen zu

a \cdot sin (x)

und (-1)/a*sin(x)verlaufen sicher auf verschiedenen Seiten der x-Achse, weil

sin (x)

immer

\geq

Null ist und a und

- \frac{1}{a}

immer verschiedene Vorzeichen haben. Sie treffen sich also nur, wenn

sin (x) = 0

ist. Das ist bei 0 und

Π

. Also heißt die Aufgabe

A = (a + \frac{1}{a}) \cdot \int_{0}^{Π} sin (x) d x = (a + \frac{1}{a}) \cdot {[- cos (x)]}_{0}^{Π} = (a + \frac{1}{a}) \cdot 2

Frage beantwortet

Xeon1400

Xeon1400 aktiv_icon

13:12 Uhr, 11.09.2011

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Ahh, vielen Danke :-)

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