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Monotonie, Kurvendiskussion mit Parameter

Schüler Fachoberschulen,

Tags: Kurvendiskussion, Monotonieintervall, Parameter

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17:04 Uhr, 01.03.2012

Hallo,wir haben heute mit Kurvendiskussion mit Parameter angefangen. I
Ich hätte eine dringende Frage:

Gegeben ist

f (x) = a \cdot {(x - 2)}^{3} + 1, a \in R

Die Aufgabe besteht nun, die maximalen Monotonieintervalle zu berechnen.

1. Schritt:

f (x) = a \cdot (x - 2) \cdot (x^{2} - 4 x + 4) + 1

= a \cdot (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} + 8 x - 8) + 1

= a \cdot (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) + 1

= a x^{3} - 6 a x^{2} + 12 a x - 8 a + 1

Es müsste doch normalerweise gelten:

f' (a) \geq 0 \to

streng monoton steigend
und

f' (a) \leq \to

streng monoton fallend

Ich wäre wirklich dankbar, wenn ihr mir helfen könnet :-)

Vielen Dank im Voraus! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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17:06 Uhr, 01.03.2012

Stimmt alles, was du schreibst, aber was ist nun die Frage?

irena

17:07 Uhr, 01.03.2012

Hallo,
über die Ableitungsfunktion erhälst du Information über die Steigung-> das Monotonieverhalten
mfg

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17:09 Uhr, 01.03.2012

Also muss ich jetzt einfach

3 a x^{2} - 12

+ 12 a \geq 0

und dann dasselbe

\leq 0

setzten und nach

x

auflösen?

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17:12 Uhr, 01.03.2012

Genau.

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17:15 Uhr, 01.03.2012

Und dann muss ich ja noch eine Fallunterscheidung machen, oder?
also wenn

a < 0

und

a > 0

bei

a < 0

dreht sich ja dann nach dem Inversionsgesetz beim Auflösen das Vorzeichen um.

Unser Lehrer hat jedoch gesagt, dass dies nicht immer null sein muss, dass es in manchen Fällen

z . B

. auch

a > 5

gibt. Woher weiß ich das dann, ob

a > 0

oder

z . B

a > 5

gilt? Wir haben heute mit Kurvendiskussion mit Parameter angefangen und das hat mich ein wenig verwirrt.

irena

17:26 Uhr, 01.03.2012

Hallo,
die Ableitungsfunktion sagt was aus über den Verlauf der Funktion.
Wenn du einen Extremwert,

f' = 0

und

f'' \neq 0,

hast , ändert sich das Vorzeichen der Steigung.

d . h

. aus steigend wird fallend oder umgekehrt.
Außerdem musst du

a < 0

und

a > 0

unterscheiden.

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17:28 Uhr, 01.03.2012

Unser Lehrer hat jedoch gesagt, dass dies nicht immer null sein muss, dass es in manchen Fällen

z . B

. auch

a > 5

gibt. Woher weiß ich das dann, ob

a > 0

oder

z . B

a > 5

gilt? Wir haben heute mit Kurvendiskussion mit Parameter angefangen und das hat mich ein wenig verwirrt.

irena

17:37 Uhr, 01.03.2012

Mag ja für andere Funktionen zutreffen.
Hier ist das eine ganzrationale Funktion 3. Grades, die entweder steigend für

a > 0

oder fallend für

a < 0

.
Sie hat einen Sattelpunkt für

x = 2

und keinen Extremwert.

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17:38 Uhr, 01.03.2012

Dank für eure hilfe.

Jedoch hätte ich noch eine kleine Frage, wie erkenne ich es dann wenn was anderes als

a > 0

und

a > 0

gilt ?

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17:48 Uhr, 01.03.2012

Meinst du, wie du sinnvolle Grenzen für die Fallunterscheidung nach a herausfinden kannst? Schau dir die erste Ableitung an und versuche zu erkennen, für welche Werte von a sich ihr Vorzeichen ändert.

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17:50 Uhr, 01.03.2012

Genau das habe ich gemeint. Vielen Dank, ich habe es verstanden :-)

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