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Monotonie bei Folgen?

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Beweis, Folgen, Formel, mathe, monoton, Monotonie

Mathehasserin1 aktiv_icon

14:19 Uhr, 07.05.2012

Es geht um die Monotonie von Folgen.
Man beweist,ob die Folge monotobn steigend oder fallend ist mit a(n+1)≥a(n) ,bzw. a(n+1)≤a(n)

Das ist sehr aufwendig und da ich ziemlich schlecht im Mathe bin für mich sehr schwer.Durch den langen unf (für mich) komplizierten Rechenweg komme ich gar nicht erst zur Lösung,sodass ich die Monotonie nicht sehe.

Jetzt habe ich aber bemerkt,dass in den Lösungen vom Buch die Monotonie nicht immer mit der obigen Formel bewiesen wurde.

Ein Bsp.:"Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie":

Folge:

4 n + 2 n

Lösungsbuch Lösung:

4 n + 2 n = 4 + (2 n)

"mit wachsendem

n

wird

(2 n)

immer kleiner,also ist a streng monoton fallend."

Das war jetzt die Lösung aus dem Buch.Naja,die müssen es ja wissen.Aber mit a(n+1)−a(n) wurde hier nichts bewiesen...bei manchen Folgen haben sie es aber bewiesen.

Muss ich das jetzt immer mit a(n+1)−a(n) machen,oder reicht es,wenn ich (wie oben Aufgabe) den Bruch zerlege und dann für

n

etwas einsetze?Oder kommt es immer auf die Folge an,ob ich es beweisen muss oder nicht?

Bitte antwortet mir,ich schreibe Mathe und es verwirrt mich ziemlich!!

Vielen Dank

MatheHASSERIN1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Mitternachtsformel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Lasagne10 aktiv_icon

14:37 Uhr, 07.05.2012

Bei der Lösung deines Lösungsbuches hast du sicher die Gleichung falsch abgeschrieben. Denn:

4 n + 2 n = 4 + (2 n)

sagt nichts über Monotonie aus.

Es gibt mehrere Wege, um Monotonie zu zeigen.
Für Monotonie steigend, gilt:

a_{n + 1} > = a_{n}

Dies kann man umformen in:

a_{n + 1} - a_{n} > = 0

oder

a_{n + 1} / a_{n} > = 1

Setzen wir einfach mal ein:

\frac{4 (n + 1) + 2}{4 n + 2} > = 1

\frac{4 n + 4 + 2}{4 n + 2} > = 1

\frac{6 n + 6}{4 n + 2} > = 1

\frac{6 n + 6}{4 n + 2} > = 1

Da kannst du schon aufhören, denn du siehst sofort, dass der Zähler größer als der Nenner ist.

Mathehasserin1 aktiv_icon

14:46 Uhr, 07.05.2012

klar,was ich geschrieben habe ist falsch.: (

Ich habe den Text nämlich kopiert und deswegen hat sich das alles verschoben.

Es heißt:

\frac{4 n + 2}{n} = 4 + (\frac{2}{n})

Aber die haben es hier ja auch nicht mit

a (n + 1) - a (n)

bewiesen...das verstehe ich nicht...vielleicht,weil man die Monotonie hier auch so sehen konnte?

Mathehasserin1 aktiv_icon

14:47 Uhr, 07.05.2012

sorry ich glaub ich muss die Frage nochmal stellen,da mein Fragetext ja falsch war...

Lasagne10 aktiv_icon

17:17 Uhr, 07.05.2012

Ja man kann es einfach so sehen.

An der Umformung gibt es keine Probleme oder? Ansonsten:

\frac{4 n + 2}{n} = \frac{4 n}{n} + \frac{2}{n} = 4 + \frac{2}{n}

Warum kann man die Monotonie leicht sehen? Eine Folge beginnt, aufgrund der natürlichen Zahlen bei n=1. Die 4 ist eine Konstante und ändert sich nicht. Das einzige was an deiner Folge variabel ist, ist der Bruch

\frac{2}{n}

. Dieser ist monoton fallend, aufgrund der Eigenschaft, dass mit höheren n der Bruch immer kleiner wird.

Andere Möglichkeit des Beweises:
Wenn du diesen Standardbeweis

a_{n + 1} > = a_{n}

nicht machen willst, würde es auch hier reichen, wenn du sagst, dass die Folge konvergiert (da diese nach unten beschränkt ist) und den Grenzwert ausrechnest.

lim_{n \to \infty} 4 + \frac{2}{n} = 4

Eine andere Beweismöglichkeit wäre mithilfe von Induktion.

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