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Nullstellen trigonometrischer Funktionen

Schüler Abendgymnasium,

Tags: Nullstellen, Trigonometrie

 
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Frika

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21:51 Uhr, 14.03.2015

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Liebes Matheforum,

Ich habe ein Verständnisproblem wenn es um die WEITEREN Lösungen trigonometrischer Funktionen geht.

Die Funktion sei:

f(x)=12sin(x)+4cos(x)

Ich löse nach x auf und erhalte durch tan das Ergebnis x=-0,145

So, schön und gut. Aber so eine trigonometrische Funktion hat ja in der Regel unendlich viele Lösungen.
Wie kann ich weitere Lösungen errechnen? Und wie kann ich die Lösungsformel Parameter (k Element von Z) ausdrücken, so daß man statt k nur noch Zahlen einsetzen muß um weitere Lösungen zu errechnen?

Ich wäre für eine Erklärung sehr dankbar.
Gruß
Franziska

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
abakus

abakus

22:03 Uhr, 14.03.2015

Antworten
"Ich löse nach x auf und erhalte..."

WAS löst du denn nach x auf?
Eine Funktion kann man nicht auflösen, nur eine Gleichung.
Vermutlich sprichst du von der Gleichung
Funktionsterm=0 ?

"und erhalte durch tan das Ergebnis x=-0,145"
Soll wohl heißen, dass du für einen Tangenswert durch Drücken einer Tastenkombination ein mögliches Argument erhalten hast.

Alle übrigen Lösungen erhältst du unter Berücksichtigung der kleinsten Periode der Tangensfunktion.
Sämtliche Funktionswerte (auch der Funktionswert -8) wiederholen sich regelmäßig mit der kleinsten Periode...
Antwort
Werner-Salomon

Werner-Salomon aktiv_icon

22:16 Uhr, 14.03.2015

Antworten
Hallo Franziska,

als Zwischenergebnis erhältst Du:
tan(x)=-8
die kleinste Periode des tan ist π. Das bedeutet, dass allgemein gilt:
tan(x)=tan(x+kπ), für k∈ℤ

einsetzen in obige Gleichung:
tan(x+kπ)=-8
bzw.
x+kπ=arctan(-8)
also:
x=arctan(-8)-kπ
was dem
x=arctan(-8)+kπ
genauso entspricht.

Gruß
Werner
Frika

Frika aktiv_icon

22:27 Uhr, 14.03.2015

Antworten
Hallo Werner und Gast,
Vielen Dank für die ausführlichen Antworten, das hat mir für mein Verständnis schon mal sehr geholfen.
Nun bin ich aber noch unschlüssig wie ich das ganze auflöse.

Ich schreibe also hin für k=0
tan(x+0⋅π)=-8

Für k=1 müßte dann gelten
tan(x+π)=-8

...und so weiter.

Aber wie komme ich dann auf die jeweiligen Ergebnisse? Also wie rechne ich das aus? Da hakt es bei mir leider noch. :(

Grüße
Franziska
Antwort
Werner-Salomon

Werner-Salomon aktiv_icon

22:35 Uhr, 14.03.2015

Antworten
Hallo Franziska,

um ehrlich zu sein, verstehe ich jetzt nicht, wo jetzt Dein Problem ist.
Das hatte ich Dir oben bereits gezeigt.
Es gilt
x=arctan(-8)+kπ mit k∈ℤ (s.o.)
Da kannst für arctan(-8)≈-1,446 schreiben, aber ansonsten ist das bereits das Ergebnis.

D.h es gibt unendlich viele Werte für x, die die Ausgangsgleichung erfüllen.
Frika

Frika aktiv_icon

02:09 Uhr, 18.03.2015

Antworten
Lieber Werner,
ich komme leider erst jetzt dazu zu antworten.

Nur noch eine kurze Rückfrage zu den Nullstellen dieser Aufgabe:
Kann ich also sagen, daß die ersten Nullstellen dieser Aufgabe sind:

(-0,1405|0)
(3|0)
(6,14|0)
(9,28|0)

Ich rechne also zu meinem ersten Ergebnis immer nur π dazu, weil die Periode einer Tangensfunktion π ist?

Ich würde mich über eine Antwort von dir (oder jemand anderem) sehr freuen.

Gruß
Franziska
Antwort
Roman-22

Roman-22

05:00 Uhr, 18.03.2015

Antworten
> Ich rechne also zu meinem ersten Ergebnis immer nur π dazu, weil die Periode
> einer Tangensfunktion π ist?

Weil sich dein Ergebnis durch Anwendung der Umkehrfunktion der Tangensfunktion, nämlich des Arcustangens ergibt. Diese Funktion (die eigentlich nur eine Relation ist) ist mehrdeutig, so dass du zu einem Ergebnis beliebige ganzzahlige Vielfache der kleinsten Periode der Tangensfunktion (also π oder 180° oder 200 gon) dazu zählen aber natürlich auch abziehen kannst um weitere zu erhalten.

Würde sich dein Ergebnis durch Anwenden von arcsin() oder arccos() ergeben, wäre die Sache etwas komplizierter, da es hier nicht nur Ergebnisse gibt, die sich um 2π unterscheiden sondern auch noch jeweils eine zweite Schar von Ergebnissen, die du durch Ergänzung auf π bzw. 2π erhältst.


Aber wie kommst du denn auf den Wert -0,1405? Der ist völlig falsch!
Werner hat dir mit -1,4464 ja schon den richtigen Wert genannt. Du scheinst da etwas total falsch gerechnet zu haben! Wie es aussieht hast du da den tan(-8°) berechnet und das ist doppelt falsch.

Du solltest im Laufe deiner Rechnung auf tan(x)=-8 kommen.
Um das x auf der linken Seite aus dem Tangens zu bekommen, musst du auf beide Seiten die Umkehrung der Tangensfunktion anwenden und das ist der ArcusTangens (arctan). Das ist so wie du eine Variable aus einer Wurzel durch Quadrieren heraus bekommst. Die beiden Funktionen heben einander quasi auf.
Das Ergebnis der arctan-Funktion ist ein Winkel!
So, und nun gehts zu deinem Taschenrechner. Du wirst jetzt bald eine Funktion anwenden, die einen Winkel liefert. Du möchtest diesen Winkel offenbar im Bogenmaß haben. Daher musst du deinen Rechner vorher umstellen, denn standardmäßig ist er auf das gute alte Gradmaß eingestellt. Du solltest wissen, wie das bei deinem Modell zu bewerkstelligen ist. Oft steht dann in der Anzeige ein R oder RAD, wenn der TR im Bogenmaß rechnet. Du könntest dir das Umstellen schenken, aber dann bekommst du den Winkel im Gradmaß und musst ihn in einem zweiten Schritt ins Bogenmaß umrechnen (eingebaute Funktion oder ⋅π180).
So, nun möchtest du also x=arctan(-8) berechnen.
Ich weiß nicht, wie da die Eingabe bei deinem TR Modell funkt. Ich unterstelle einmal ein älteres Modell, bei dem du zuerst die -8 eintippen musst und dann heißt die Taste, die du drücken musst meist tan-1 (und leider nicht arctan), ist meist auf der gleichen Taste beheimatet wie tan und wird durch vorheriges Drücken eine Sondertaste (2nd, INV, ..) ausgewählt. Alternativ musst du dir vielleicht in einem kleinen Menü am Display die tan-1 Funktion suchen. Vielleicht musst du die -8 auch erst nach Wahl der tan-1 Funktion in Klammern eingeben. Kommt ganz auf dein TR Modell drauf an. Wenn du richtig rechnest, solltest du jedenfalls den Wert -1,4464... erhalten.
Dein Fehler war, dass dein Rechner auf Altgrad eingestellt war und du anstelle von tan-1 (arctan) den tan genommen hast.


Noch eine kleine Anmerkung zur Terminologie (aber vielleicht habt ihr es genau so gelernt und dann bleib dabei). Wenn von einer Stelle die Rede ist, ist üblicherweise nur der x-Wert gemeint und nicht der Punkt.
Somit hast du eine Nullstelle bei x≈-1,4105, aber einen Nullpunkt in N(arctan(-8)/0). Es schadet nie, den genauen Wert anzugeben und bei den Koordinaten eines Punktes tu ich mir schwer mit dem Ungefähr-Zeichen auszudrücken, dass der Wert nur gerundet ist. Da müsste ich genau genommen noch in irgendeiner Anmerkung erklären, dass die angegebenen Wert nur gerundet sind.


Gruß R
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