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Partielle Ableitung in Katesisch&Polar Koordinaten

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Differentiation, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Kartesisch, Koordinaten, Partielle Differentialgleichungen, Polarkoordinaten, Trigonometrische Funktionen

NullChecker24 aktiv_icon

17:21 Uhr, 29.07.2018

x = r \cdot cos (φ)

y = r \cdot sin (φ)

Ich kenne diese beiden Ausdrücke, aber ich komme bei diesem Thema absolut nicht weiter. Ist die angebotene Lösung denn komplett, oder sind es drei verschiedene Methoden? Da laut Aufgabenstellung gefordert ist, die Kettenregel zu benutzen, verstehe ich nicht, was genau da gemacht wurde.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

18:14 Uhr, 29.07.2018

Hallo,

die Funktion

F (r, φ)

wird einmal direkt abgeleitet - das ist wohl nachvollziehbar- und dann als zusammengesetzte Funktion geschrieben und abgeleitet:

F (r, φ) = f [x (r, φ), y (r, φ)]

mit

x (r, φ) = r \cdot cos (φ) ...

.

Dann wird die Ableitung nach

r

bzw.

φ

mit der Kettenregel gebildet. Du kennst die Kettenregel für mehrere Dimensionen?

Gruß pwm

NullChecker24 aktiv_icon

08:00 Uhr, 30.07.2018

Sprich, die Schritte in der Lösung sind alle notwendig? Erstmal direkt ableiten und dann die Kettenregel (dazu gibts ja gleich 2 Schritte weiter unten?) Ich kann die Lösung einfach nicht nachvollziehen. Habe zwar ein Skript, aber dass hilft mir überhaupt nicht weiter.

sprtka aktiv_icon

09:29 Uhr, 30.07.2018

Du sollst es in kartesischen Koordinaten (f) undin Polarkoordinaten (F) ableiten. Du hast 2 Variablen, somit 2 partielle Ableitungen. Also brauchst

f_{x}

f_{y}

F_{φ}

F_{r}

. Das sind insgesamt 4 Ergebnisse, die du brauchst. Du hast ja auch 4 "Absätze".
Bei

F_{r}

werden dir 2 Möglichkeiten, einmal direkt über die Funktion

F

un deinmal über die Kettenregel angeboten. Bei

F_{φ}

wird dann nur über Kettenregel gerechnet.

sprtka aktiv_icon

09:34 Uhr, 30.07.2018

Bei der Methode mit Kettenregel brauchst du die Funktion F nicht wirklich. Du betrachtest

F (r, φ) = f (x (r, φ), y (r, φ))

und leitest mit der Kettenregel ab. Also

F_{r} = f_{x} * x_{r} + f_{y} * y_{r}

wobei

x = r c o s (φ)

und

y = r s i n (φ)

Atlantik aktiv_icon

16:04 Uhr, 30.07.2018

Wäre es nicht auch so möglich:

x = r \cdot cos (ρ) \to {cos}^{2} (ρ) = \frac{x^{2}}{r^{2}}

y = r \cdot sin (ρ) = \pm r \cdot \sqrt{1 - {cos}^{2} (ρ)} = \pm r \cdot \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{r^{2}}} = \pm \sqrt{r^{2} - x^{2}}

y_{r}

= - + \frac{x}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}}

mfG

Atlantik

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