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Polarkoordinaten beim Sinus und Cosinus

Schüler Maturitätsschule,

Tags: Cosinus, Polarkoordinaten, Polarkoordinatendarstellung, Sinus

anonymous

22:30 Uhr, 20.08.2018

Hallo zusammen :-)

Ich verstehe nicht, warum bei der Polarebene

r = cos (φ)

und

r = sin (φ)

es Kreise sind? Ich kann es nicht nachvollziehen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

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rundblick aktiv_icon

22:43 Uhr, 20.08.2018

.
"bei der Polarebene r=cos(φ) und r=sin(φ) es Kreise sind "

. .

. wer hat das denn so formuliert behauptet ?

nun, bereits für

0 \leq φ < π

bestimmen zB die Punkte

P (φ; r) = P (φ; sin (φ))

der Polarebene
mit kartesischen Koordinaten angegeben schon den ganzen Kreis

x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}

Respon

23:22 Uhr, 20.08.2018

Vermutlich meinst du, dass der Graph von

r = cos (φ)

ein Kreis ist.
Verwende

x = r \cdot cos (φ)

bzw.

y = r \cdot sin (φ)

und forme um.
Du bekommst dann

x^{2} + y^{2} - x = 0,

also einen Kreis mit

M (\frac{1}{2} | 0)

und Radius

\frac{1}{2}

Atlantik aktiv_icon

15:19 Uhr, 21.08.2018

x = r \cdot cos (α) \to {cos}^{2} (α) = \frac{x^{2}}{r^{2}}

y = r \cdot sin (α) = r \cdot \sqrt{1 - {cos}^{2} (α)}

y = r \cdot \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{r^{2}}} = \sqrt{r^{2} - x^{2}}

y^{2} = r^{2} - x^{2}

x^{2} + y^{2} = r^{2}

mfG

Atlantik

rundblick aktiv_icon

18:19 Uhr, 21.08.2018

.
@Atlantik :

du hast wohl leider wieder mal nicht kapiert um was es hier geht..

\to

gegeben ist die Gleichung einer Punktmenge in einem System mit

\to

Polarkoordinaten .

zB eben

\to r (φ) = sin (φ)

dabei ist

r

keine Konstante sondern eine Funktion von

φ

Tipp: mach dir mal für

\to r (φ) = sin (φ) .

. eine Wertetabelle

\to

φ = 0 \Rightarrow r (φ) = 0

φ = \frac{π}{6} \Rightarrow r (φ) = \frac{1}{2}

usw..

φ = \frac{π}{2} \Rightarrow r (φ) = 1

usw,usw..
und trage dir diese Punkte

P (φ; r (φ))

in einem Polar..system ein..

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

nebenbei:
was du mühsam

!!

gemacht hast
ist die Auswertung einer kartesisch gegebenen Parameterdarstellung
(Parameter

\to α . .

. und Konstante

\to r) \to

x=r⋅cos(α)
y=r⋅sin(α)

... ... ... ... ... ... .

. quadriere und zähle zusammen

\Rightarrow

x^{2} + y^{2} = r^{2} \cdot [{cos}^{2}

(α)

+ {sin}^{2}

(α)

]

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

. und schon hast du deine parameterfreie Kreisgleichung

\to

x^{2} + y^{2} = r^{2}

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

. wau - da staunt der "Lehrer" ?
aber das ist - wie oben gesagt - hier ja gar nicht das Thema.
und übrigens .. falls du noch etwas üben willst:
auch für die andere in der Frage genannte (Polar-) Gleichung

\to r (φ) = cos (φ)

bekommst du dann auch wieder kartesisch notiert eine Kreisgleichung (siehe Respon)
.

Atlantik aktiv_icon

19:15 Uhr, 21.08.2018

@rundblick, danke für die Erklärungen,( sicherlich auch für den Fragesteller!). Polarkoordinaten sind Neuland für mich und bedürfen noch der Einarbeitung.

mfG

Atlantik

Respon

19:28 Uhr, 21.08.2018

Eine mögliche Umformung zu

r = cos (φ)

( genauer

r (φ) = cos (φ))

r^{2} = x^{2} + y^{2} = {cos}^{2} (φ)

r = \frac{x}{cos (φ)} \Rightarrow cos (φ) = \frac{x}{cos (φ)} \Rightarrow {cos}^{2} (φ) = x

\Rightarrow

x^{2} + y^{2} = x

x^{2} + y^{2} - x = 0

(

r

ist hier

r (φ)

und nicht der Radius des Kreises )

rundblick aktiv_icon

21:26 Uhr, 21.08.2018

.
"( sicherlich auch für den Fragesteller!)"

..hm.. nur jammerschade dass dieser erste Max es nicht für nötig findet, die Antworten
zur Kenntnis zu nehmen oder gar zu reagieren..

dir, lieber Atlantik , danke ich für deine positive Reaktion.
.

anonymous

21:37 Uhr, 21.08.2018

Ich danke euch für eure Hilfe:-)

anonymous

15:09 Uhr, 22.08.2018

Respon sehe ich in Zusammenhang mit dem Thaleskreis.

(x + \frac{1}{2})

+ y

= \frac{1}{4} (1 a)

ist der Kreis mit Mittelpunkt

(\frac{1}{2} | 0)

und Durchmesser

1 -

kannst du mir so weit geistig folgen?

(1 a) = x

+ y

+ x = 0 (1 b)

Wie sieht nun die Polardarstellung dieses Thaleskreises aus? Durchmesser = Abszisse von Null bis Eins; das Dreieck

0 C 1

über der Einheitsstzrecke ist rechtwinklig. Der Polarstrahl

0 C

ist somit Ankatete des Polarwinkels

φ,

also gleich

cos (φ)

DAS hättste nich jedacht, dass dich der Thales noch bis zu den Polarkoordinaten begleitet

. .

rundblick aktiv_icon

16:42 Uhr, 22.08.2018

(x + \frac{1}{2})

+ y

= \frac{1}{4}

ist der Kreis mit Mittelpunkt

(\frac{1}{2} | 0)

und Durchmesser

1 ... .

\to

FALSCH !
- kannst du mir so weit geistig folgen?"

@gilgamesch :
der Kreis mit Mittelpunkt

(\frac{1}{2} | 0)

und Durchmesser 1 hat die Gleichung

{(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}

. .

. kannst du mir so weit geistig folgen?

.

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