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Potenzreihenentwicklung sinus

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Potenzreihe, Sinus

eXeLaNCe aktiv_icon

19:24 Uhr, 27.08.2011

Hallo,

ich möchte die Potenzreihenentwicklung von

\int (\frac{sin (t)}{t}) d t

bestimmen mit Hilfe der Taylorreihe von

sin (x) = x - \frac{x^{3}}{3}! + \frac{x^{4}}{5}! - . .

.

Wie muss ich hierbei fortgehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

smoka

09:30 Uhr, 29.08.2011

Hallo,

zunächst kannst Du ruhig hier bleiben, fortgehen brauchst Du dazu gar nicht ;-)
Setze die Potenzreihe einfach ins Integral ein und integriere jedes Glied einzeln.

Gruß,

smoka

eXeLaNCe aktiv_icon

11:11 Uhr, 29.08.2011

Danke :-)
Hab zur Zeit viel Stress, ich weiß oft selber nicht mehr was ich schreibe :-)

Also hab's jetzt eingesetzt und habe Folgendes raus:

\int (\frac{sin (t)}{t}) d t

= \int \frac{t - \frac{t^{3}}{3!} + \frac{t^{5}}{5!} -}{t} d t

= \int (1 - \frac{t^{2}}{3!} + \frac{t^{4}}{5!}) d t

= t - \frac{t^{3}}{3 \cdot 3!} + \frac{t^{5}}{5 \cdot 5!}

Stimmt das so?

prodomo aktiv_icon

11:35 Uhr, 29.08.2011

soweit ok.
Allgemeine Darstellung (wichtig für restglied

o

.ä.)

\sum_{i = 1}^{n} x^{2 \cdot n - 1} \cdot \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{(2 \cdot n - 1) \cdot (2 \cdot n - 1)!}

Shipwater aktiv_icon

11:35 Uhr, 29.08.2011

Schreib das noch ordentlich auf als

\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{t^{2 n + 1}}{(2 n + 1)! (2 n + 1)}

eXeLaNCe aktiv_icon

13:25 Uhr, 29.08.2011

Danke! Ich verstehe aber nicht genau, wie ich ich auf diese allgemeine Darstellung kommen soll. Gibt es dazu einen Trick?

Shipwater aktiv_icon

13:34 Uhr, 29.08.2011

Einfach nur ein bisschen überlegen. Alle Summanden sind ja von der selben Form. Schreib es mal so auf:

\frac{t^{1}}{1 \cdot 1!} - \frac{t^{3}}{3 \cdot 3!} + \frac{t^{5}}{5 \cdot 5!} - \frac{t^{7}}{7 \cdot 7!} \pm . .

.
Das

n

.te Glied kann also dargestellt werden als

{(- 1)}^{n} \cdot \frac{t^{2 n + 1}}{(2 n + 1) \cdot (2 n + 1)!}

wenn du bei

n = 0

beginnst. Alles zusammen ergibt dann die unendliche Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{t^{2 n + 1}}{(2 n + 1) \cdot (2 n + 1)!}

prodomo aktiv_icon

14:52 Uhr, 29.08.2011

@shipwater: habe nicht feststellen können, dass sich die beiden Reihenentwicklungen irgendwo unterscheiden, oder habe ich die falsche Brille auf ?

Shipwater aktiv_icon

16:50 Uhr, 29.08.2011

@prodomo: Hab ich das behauptet? Deine Reihenentwicklung solltest du allerdings nochmal anschauen, weil du als Laufindex

i

gewählt hast, dieses aber gar nicht in der "Funktion bezüglich der Laufvariable" steht.

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