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Rekonstruktion v. Funktionen, Schnittwinkel

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Modellierung von Funktionen, Parabel, Rekonstruktion, Schnittwinkel

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13:21 Uhr, 22.03.2016

Hallo, ich bin gerade am Lernen für Mathe Abi. Jetzt stecke ich bei einer Aufgabe fest, die ihr unten im Anhang seht. Zusätzlich findet ihr im Anhang meine bisherigen Lösungsvorschläge :-)
Die quadratische Parabel, die die Schneide der Axt darstellt habe ich bereits herausgefunden, weiß aber nicht, ob diese richtig ist. bei den Halbparabeln stecke ich fest, da ich nur 2 Punkte gefunden habe und somit nur 2 Gleichungen. Also fehlt mir noch eine dritte Gleichung damit ich die Funktion modellieren kann.

Bezüglich der Berechnung der Schnittwinkel.. Ich muss doch nur die Parabeln gleichsetzen und dann nach

x

auflösen oder? Und dann das Ergebnis von

x

mit

{tan}^{- 1}

berechnen?
Oder muss ich das Ergebnis von

x

in die Ableitung der Parabeln tun und dann erst

{tan}^{- 1}

rechnen?

Vielen Dank für Eure Hilfe! :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Roman-22

13:37 Uhr, 22.03.2016

>

Also fehlt mir noch eine dritte Gleichung damit ich die Funktion modellieren kann.
Das ist etwas schwammig in der Angabe formuliert: "Die seitlichen Halbparabeln laufen wie angedeutet horizontal aus".
Gemeint ist also, dass die rechte Halbparabel in

(8 / 6)

eine waagrechte Tangente hat.

Deine andere Parabelgleichung

y = \frac{3}{32} x^{2}

ist richtig.
Allerdings hast du dir da viel zu viel vermeidbare Arbeit gemacht.
Die Parabel hat ihren Scheitel doch offensichtlich im Ursprung. Da sollte man wissen, dass ihre Gleichung einfach

y = a \cdot x^{2}

lautet. Jetzt noch die Koordinaten von

(8 / 6)

einsetzen und fertig.

R

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13:40 Uhr, 22.03.2016

Bedeutet das im Umkehrschluss, dass ein weiterer Punkt beispielsweise

P (9 | 6)

oder

P (10 | 6)

wäre?

Roman-22

13:48 Uhr, 22.03.2016

>

Bedeutet das im Umkehrschluss, dass ein weiterer Punkt beispielsweise

P (9 | 6)

oder

P (10 | 6)

wäre?
Nein, die Parabel kann doch nicht plötzlich waagrecht verlaufen und zur horizontalen Geraden mutieren.

Es bedeutet aber, dass

(8 / 6)

der Scheitel dieser Parabel ist und du etwa die Scheitelform der Parabelgleichung zur Lösung heranziehen kannst. Auch hier ist wiederum kein Gleichungssystem zu lösen, sondern einfach mithilfe des Parabelpunkts

(2 / 14)

der Koeffizient von

x^{2}

zu bestimmen - die anderen Größen in der Scheitelpunktsform sind ja dank Kenntnis des Scheitels bekannt.

Alternativ könntest du auch benutzen, dass an der Stelle

x = 8

die erste Ableitung Null ist, aber die oben genannte Variante ist deutlich einfacher und kürzer.

Ein weiterer, nicht zu empfehlender Ansatz wäre, den Parabelpunkt

(2 / 14)

an der Parabelachse zu spiegeln und somit mit

(14 / 14)

einen dritten Parabelpunkt zu erhalten. Das ist aber mit Abstand die schlechteste, weil aufwändigste Lösungsvariante - vergleichbar mit dem, was du bei der ersten Parabel gemacht hast (siehe dazu meine obige Anmerkung).

R

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13:59 Uhr, 22.03.2016

Achsooooo, jetzt verstehe ich was du mit der waagerechten Tangente meinst. Ich versuche es mal, die Funktion zu modellieren und melde mich anschließend :-)

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14:28 Uhr, 22.03.2016

Hmm, also ich habe es mit der 1. Ableitung versucht und da kamen soo komische Zahlen raus.. Das ist bestimmt falsch.
Unten siehst du meine Lösungsansätze.
Vielen Dank für deine Hilfe!!

Roman-22

15:02 Uhr, 22.03.2016

Gratulation - diese "komischen" Zahlen sind nämlich alle richtig!

Die Parabelgleichung lautet tatsächlich

y = \frac{2}{9} \cdot x^{2} - \frac{32}{9} \cdot x + \frac{182}{9}

.
Etwas freundlicher sieht das in der Scheitelform aus:

y = \frac{2}{9} \cdot {(x - 8)}^{2} + 6

Warum hast du aber den einfachsten Weg verweigert?
Die Scheitelform einer Parabelgleichung ist

y = a \cdot {(x - x_{S})}^{2} + y_{S}

und dabei ist

(x_{S} / y_{S})

der Parabelscheitel.
Da wir schon wissen, dass der Scheitel bei

(8 / 6)

liegt, haben wir also nur mehr

y = a \cdot {(x - 8)}^{2} + 6

und wenn wir da die Koordinaten von

(2 / 14)

einsetzen, kommen wir sehr schnell und einfach auf

a = \frac{2}{9}

. Ausquadrieren und zusammenfassen liefert dann die Werte, so wie du sie erhalten hast.

R

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15:14 Uhr, 22.03.2016

Naja, um ehrlich zu sein, hatte ich die Scheitelpunktform nicht mehr so wirklich in Erinnerung und auch nicht den Zusammenhang zwischen der Scheitelpunkt- und der Normalform.

Um die Aufgabenstellung “Unter welchen Winkel stößt die Schneide auf die Seitenkanten des Werkzeugs“ zu beantworten, muss ich doch jetzt die Funktionen der Parabel und der Halbparabel gleichsetzen und nach

x

auflösen oder? Und dann

{tan}^{- 1} (x)

? Oder wie?

Roman-22

15:16 Uhr, 22.03.2016

>

Naja, um ehrlich zu sein, hatte ich die Scheitelpunktform nicht mehr so wirklich in Erinnerung
Nun, das dachte ich mir schon und zum Glück führen ja viele Wege zum Ziel, deiner auch. Aber wie du siehst, wenn du den Rechenaufwand vergleichst, zahlt es sich oft aus, sich gewisse Dinge wieder in Erinnerung zu rufen bzw. in einer Formelsammlung nachzuschlagen.

R

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15:17 Uhr, 22.03.2016

Ja ich werde auf jeden Fall bis zur Prüfung ein paar Basics wiederholen :-D)

Roman-22

15:24 Uhr, 22.03.2016

>

Um die Aufgabenstellung “Unter welchen Winkel stößt die Schneide auf die Seitenkanten des Werkzeugs“ zu beantworten, muss ich doch jetzt die Funktionen der Parabel und der Halbparabel gleichsetzen

Das macht man normalerweise, wenn man den Schnittwinkel zweier Funktionsgraphen zu ermitteln hat. Der Sinn dabei ist allerdings, den Schnittpunkt der beiden Kurven zu bestimmen. Hier kennst du diesen mit

(8 / 6)

doch bereits, aber natürlich kannst du übungshalber nachrechen, ob er auch wirklich wieder rauskommt ;-)

>

und nach

x

auflösen oder? Und dann tan−1(x) ? Oder wie?
Nein. Der x-Wert (hier

x = 8)

gibt doch nur die Stelle an, die interessiert und hat mit der Steigung nichts zu tun. Die liefert dir nur die erste Ableitung (eben an dieser Stelle). Da wir wissen, dass die Halbparabel an der Stelle waagrecht verläuft, braucht sie uns hier nicht weiter zu interessieren. Es ist ist also bloß der Steigungswinkel der ersten Parabel gesucht.
Dabei wirst du die Umkehrung der Tangens-Funktion gut gebrauchen können, allerdings heißt diese immer noch arctan() und nicht

{tan}^{- 1},

auch wenn letzteres auf der entsprechenden TR-Taste draufsteht.

R

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15:36 Uhr, 22.03.2016

Achsoo okay, ich wusste gar nicht dass man den Steigungswinkel berechnen sollte. :-D)
Im Anhang siehst du wie ich den Winkel berechnet habe. Hoffentlich habe ich dich richtig verstanden und hoffentlich ist es richtig :-)

Roman-22

16:01 Uhr, 22.03.2016

Ja, genau. Richtig.

>

Achsoo okay, ich wusste gar nicht dass man den Steigungswinkel berechnen sollte.
Naja, so ist es auch nicht formuliert. Du sollst den Schnittwinkel der beiden Parabeln ermitteln. Dazu ermittelt man üblicherweise die Steigungswinkel beider Kurven und bildet ihre Differenz.

Normalerweise (also bei der Aufgabe: Schnittwinkel zweier Funktionsgraphen) müsste man nun noch den Anstieg der zweiten Funktion an der Stelle 8 ermitteln

\to

oh, sie ist Null! Dann den Steigungswinkel des zweiten Funktionsgraphen

φ_{2} = a r c t a n (0) = 0^{\circ}

und dann ist eben der Schnittwinkel die Differenz der beiden Steigungswinkel. Da einer der Winkel Null ist

. .

R

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16:03 Uhr, 22.03.2016

Okay, vielen lieben Dank nochmal! Du warst super hilfreich!! :-D)

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