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Rotationsvolumen mit Wurzelfunktion bestimmen

Schüler Wirtschaftsschule,

Tags: Funktionsgleichung, Rotationskörper, Wurzelfunktion

danipedia aktiv_icon

16:34 Uhr, 14.12.2017

Hallo ich hab eine Aufgabe in dem ich das Volumen eines Sektglases mit der Funktion

f (x) = a

√x-6 berechnen soll. Gegeben ist ebenfalls das der Innenraum 9 cm hoch ist und einen größten Durchmesser von

5,5

cm hat. Nun muss ich bevor ich das Volumen ausrechnen soll a bestimmen.

d . h

grafisch fängt der Sektglas Innenraum im Koordinatensystem bei

x = 6

an und a ist in dem Fall die Streckung des Glases aber wie berechne ich a ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Hyperbeln
Potenzfunktionen - Fortgeschritten

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rundblick aktiv_icon

17:18 Uhr, 14.12.2017

.
"

f (x) = a

√x-6

d . h

grafisch fängt der Sektglas Innenraum im Koordinatensystem bei

x = 6

an "

\to . .

. vermutlich sollte also

f (x)

so aussehen

\to f (x) = a \cdot \sqrt{x - 6} \leftarrow ... . .

. ?????????????

und das "umgefallene" Glas soll durch Rotation von

f

um die x-Achse entstehen ??

"Gegeben ist ebenfalls das der Innenraum 9 cm hoch ist
und einen größten Durchmesser von

5,5

cm hat."

also, wenn meine obige Vermutung stimmt

\to

dann müsste also nun

\to f (15) = 2,75

sein ..

.. und wie gross wäre dann das a zu wählen ?

\to

?

.

danipedia aktiv_icon

14:43 Uhr, 15.12.2017

Das

f (15) = 2,75

ist war mir klar, da das Glas oben ja

5,5

cm breit ist und der Radius dann logischerweise

2,75

sein muss.
Bin mir aber immernoch unsicher wegen dem Streckfaktor a da man diesen ja nicht ablesen kann weil man ja nur den Anfangspunkt des Glases bei

x = 6

gegeben hat und den Endpunkt des Glases bei

f (15) = 2,75 .

.

Oder kann man a dann durch

\frac{2,75}{9}

bestimmen?

Ich brauche ja einen Wert für a um diesen dann vollständig in die Formel für das Rotationsvolumen einsetzten zu können oder ist das gar nicht notwendig?

(Ich lade Mal ein Bild hoch vlt wird des dann deutlicher was ich meine)

ledum aktiv_icon

15:56 Uhr, 15.12.2017

Hallo
du gehst da falsch dran.
Wenn man

f (15)

kennt setzt man

15 \in f (x)

ein und setzt es gleich

2,75

. dann hast du eine einfache Gleichung mit a und kannst a ausrechnen.
Also

2,75 = a \cdot \sqrt{15 - 6}

Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

16:41 Uhr, 15.12.2017

.
" vlt wird des dann deutlicher was ich meine"

aber wie deutlich muss man dir es noch sagen, damit du kapierst, was wir meinen..

also nochmal

\to

du hast

f (x) = a \cdot \sqrt{x - 6}

wenn du dein

x = 6

einsetzt bekommst du

f (6) = a \cdot \sqrt{6 - 6}

und da dann

f (6) = 0

ist, bekommst du das a noch nicht .. aber den Punkt

(6; 0)

im Bild

so - und jetzt staune, denn du weisst ja auch noch, dass bei

x = 15

dann

y = 2,75

wird

\to

f (15) = a \cdot \sqrt{15 - 6} . .

. und sieh da

\to

damit kannst du dein so verzweifelt gesuchtes a berechnen .. (zur Kontrolle

\to a = \frac{11}{12})

aber mach nun endlich weiter und berechne das gesuchte Volumen
was bekommst du nun

: V =

..?..

.

danipedia aktiv_icon

19:07 Uhr, 15.12.2017

@ledum und Rundblick

Okey wie man auf a kommt hab ich jetzt verstanden vielen Dank dafür schonmal :-)

Am Volumen ausrechnen holpert es aber glaube ich noch. Wenn ich es richtig verstanden habe muss man nun

f (x)

in die Formel einsetzen hoch 2 nehmen und dann die Stammfunktion bilden um die beiden Grenzen einsetzten zu können und schließlich mit

Π

Mal zu nehmen..

Im Bild ist mein Lösungsansatz.

Und danke das ihr mir weiter helft... Bin in Mathe eher ein verlorenes Kind als sonst etwas

rundblick aktiv_icon

20:03 Uhr, 15.12.2017

.
" Bin in Mathe eher ein verlorenes Kind "

hm.. die erste Zeile ist noch richtig
(obwohl : es soll wohl

12

(und nicht nur

2)

im Nenner stehen)

\to

V = π \cdot \int_{6}^{15} {(\frac{11}{12} \cdot \sqrt{x - 6})}^{2} \cdot d x

und dann kommt der Fehler: es fehlt in deiner zweiten Zeile eine Klammer

\to

so:

V = π \cdot \int_{6}^{15} \frac{121}{144} \cdot (x - 6) \cdot d x

und dann ist es sinnvoll, konstante Faktoren VOR das Integral zu schreiben:

V = \frac{121}{144} \cdot π \cdot \int_{6}^{15} (x - 6) \cdot d x

jetzt mach so weiter:

V = \frac{121}{144} \cdot π \cdot [\frac{1}{2} x^{2} - 6 x)]_{6}^{15}

V = \frac{121}{144} \cdot π \cdot \frac{1}{2} {[x \cdot (x - 12)]}_{6}^{15}

V = \frac{121}{144} \cdot π \cdot \frac{1}{2} [15 \cdot 3 - 6 \cdot (- 6)]

V = \frac{121}{288} \cdot π \cdot [45 + 36]]

V = \frac{81 \cdot 121 \cdot π}{288}

V \approx ... . .

.

Vorschlag: wenn du dir angewöhnst, sauber und klar darzustellen,
dann wirst du wohl bald nicht mehr als verlorenes Kind herumlaufen

ok?
.

danipedia aktiv_icon

18:32 Uhr, 18.12.2017

Hey vielen Dank für Hilfe.
Ich nehme an das
Man es auch so berechnen hätte können:

(\frac{1}{2} \cdot 15^{2} - 6 \cdot 15) - (\frac{1}{2} \cdot 6^{2} - 6 \cdot 6)

?

Für das Volumen müssten dann

c . a 107

ml heraus kommen was ja schließlich Sinn macht da der Eichstrich ja bei 100ml angebracht ist und dann immernoch etwas ins Glas passt.

Ich hätte da noch eine Frage und zwar wenn man angeben muss wie hoch die Flüssigkeit stehen würde bei einer bestimmten %-Zahl an Inhalt wie würde man das berechnen? Sagen wir Mal das Glas wäre zur "Hälfte"

(50 %)

gefüllt ausgehend vom Volumen dann ist das ja nicht automatisch die Hälfte des Glases an Höhe oder? Also könnte man nicht sagen das wenn das Volumen an Flüssigkeit bei

50 %

liegt es bei

f (10,5)

wäre.. wie würde man das berechnen?

Ich habe diesmal auch für eine saubere Darstellung gesorgt:-D)

ledum aktiv_icon

23:56 Uhr, 18.12.2017

Hallo
dann setzest du für die obere Grenze des Integrals einen Parameter ein,

z . B

h

rechnest des Volumen mit diesem

h

aus und setzt das dann gleich dem gewünschten Volumen. und berechnest

h

Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

01:14 Uhr, 19.12.2017

.
"wie hoch die Flüssigkeit stehen würde bei

\to p %

an Inhalt
wie würde man das berechnen?"

sei

6 < c < 15

dann ist.. siehe oben

(20 : 03

Uhr,

15.12.2017) \to

V (c) = \frac{121 \cdot π}{288} \cdot {[x \cdot (x - 12)]}_{6}^{c} = 106,9 \cdot \frac{p}{100}

(für

c = 15

ist

p = 100,

dh das Glas ist für

c = 15

100 %

voll ;
die Höhe im Glas ist dann

\to H = 15 - 6 = 9

\Rightarrow V (c) = \frac{121 \cdot π}{288} \cdot [c^{2} - 12 c + 36] = 106,9 \cdot \frac{p}{100}

\to c^{2} - 12 c + 36 = 106,9 \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{288}{121 \cdot π}

\to c^{2} - 12 c + 36 \approx 81 \cdot \frac{p}{100}

\to c^{2} - 12 c + (36 - 81 \cdot \frac{p}{100}) \approx 0

Beispiel

\to

für

p = 50 \to

(Glas zu

50 %

gefüllt

) \Rightarrow

\to c^{2} - 12 c - 4,5 = 0 ... \to

die Lösung für

c \in (6; 15)

ist

\Rightarrow c \approx 12,3

und die Flüssigkeitshöhe ist dann

h = c - 6 = 6,3

das sind dann also

70 %

von der vollen Höhe

H = 9 . .

(\frac{630}{9} = 70)

\to

wenn der Sektpegel im Glas

70 %

der möglichen Gesamthöhe 9 erreicht
dann ist im Glas die Hälfte des möglichen vollen Inhalts
usw
.

danipedia aktiv_icon

13:10 Uhr, 19.12.2017

also ich hab Verständnis Probleme..

6 < c < 15

macht Sinn ebenso wie das " (für

c = 15

ist

p = 100,

dh das Glas ist für

c = 15

100 %

voll ;
die Höhe im Glas ist dann →H=15−6=9 "

V (c) = \frac{121 \cdot π}{288} \cdot [x \cdot (x

−

12)]_{6}^{c} = 106,9 \cdot \frac{p}{100}

Hier hast du von oben die Formel übernommen und

c

für den oberen Parameter eingesetzt, da man ja schließlich die obere Grenze Wissen will wo die Flüssigkeit dann steht oder ?
aber warum hast du es

= 106,9 \cdot \frac{p}{100}

gesetzt ? könntest du mir die Schritte vielleicht nochmals erklären ?

also wenn man

[x \cdot (x

−

12)]_{6}^{c}

ausrechnet bekommt man dann diese Formel

V (c) = \frac{121 \cdot π}{288} \cdot [c^{2} - 12 c + 36] = 106,9 \cdot \frac{p}{100}

muss man dann für

p

nur noch die gewünschte Füllung des Volumens einsetzten und dies dann ausrechnen ?

z . b p = 50

V (c) =

\Rightarrow \frac{121 \cdot π}{288} \cdot [c^{2} - 12 c + 36] = 106,9 \cdot \frac{50}{100}

?

Ich hab das auf dem Arbeitsblatt so versucht aber ich denke ich hab einen Fehler gemacht

rundblick aktiv_icon

14:13 Uhr, 19.12.2017

.
" aber ich denke ...........................das ist erfreulich
ich hab einen Fehler gemacht"

... . .

. JA !

zB : zweiter Versuch - drittletzte Zeile ist noch richtig :

c^{2} - 12 c + 36 = 40,5

wie es richtig weitergeht steht doch schon oben

!!!

auf beiden Seiten Minus

40,5

gibt die quadratische Gleichung für

c \to

c^{2} - 12 c - 4,5 = 0

so - und nun wirst du doch noch eine gewöhnliche quadratische Gleichung
selbst richtig lösen können .. von den beiden Lösungen kommt dann hier nur die
mit

c \in (6; 15)

in Frage

. .

. aber das steht doch schon oben rum - magst du es nicht lesen ?

nebenbei:
im ersten Versuch hast du gleich den Fehler gemacht, dass du den Faktor,
der vor dem Integral steht nachher nicht auch auf die

18

anwendest dh es fehlt eine Klammer
usw.

.

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