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Scheitelpunktform mit 3 Punkten

Schüler

Tags: Normalform, Parabel, Scheitelpunktform

Mrlennnne aktiv_icon

17:00 Uhr, 17.06.2012

Ich brauche einen Lösungsweg bei Aufgabe 3 auf dem im Anhang befindenem Bild

. .

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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n = 2

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n = - 2

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Eva88 aktiv_icon

17:24 Uhr, 17.06.2012

3 b)

y = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

a - b + c = 11

c = 5

III

4 a + 2 b + c = 5

Atlantik aktiv_icon

18:07 Uhr, 17.06.2012

3 a)

Scheitelform der Parabel anwenden

S (- 3 | - 2) :

f (x) = a \cdot {(x + 3)}^{2} - 2

Nullstelle bei

N (- 1 | 0) :

0 = a \cdot {(- 1 + 3)}^{2} - 2

a = . .

.

mfG

Atlantik

Bummerang

09:25 Uhr, 19.06.2012

Hallo,

Hinweis zur Aufgabe

b) :

Ganzrationale Funktionen zweiten Grades der Form

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

lassen sich durch quadratische Ergänzung eineindeutig in die Scheitelpunktform

a \cdot {(x - x_{s})}^{2} + y_{s}

bringen, wobei

(x_{s}; y_{s})

der Scheitelpunkt ist. Man sieht leicht, dass dieser Term Achsensymmetrisch zur Achse

x = x_{s}

ist. Wegen dieser Achsensymmetrie kann man Aufgabern wie diese, bei der 2 Punkte mit gleichem Funktionswert gegeben sind, leichter lösen. Die Symmetrieachse verläuft genau zwischen den Argumenten zu den beiden Punkten mit gleichem Wert! Damit ist hier die Symmetrieachse

x = 1

und das Argument des Scheitelpunktes ist

x_{s} = 1

. Setzt man das in die allgemeine Scheitelpunktform ein, erhält man:

f (x) = a \cdot {(x - 1)}^{2} + y_{s}

Damit hat man nur noch 2 Unbekannte und kann mit dem letzten Punkt und

z . B

. den ersten in nur 2 Gleichungen, die fehlenden Werte berechnen:

5 = a \cdot {(0 - 1)}^{2} + y_{s} = a + y_{s}

11 = a \cdot {(- 1 - 1)}^{2} + y_{s} = 4 \cdot a + y_{s}

Da sieht man leicht, dass auf der rechten Seite genau

3 \cdot a

dazukommen und auf der linken geau

6,

also

3 \cdot a = 6

(und damit

a = 2)

gelten muß und damit folgt am einfachsten aus der ersten Gleichung

y_{s} = 3

. Ich denke, dass das etwas weniger Rechenaufwand ist, als bei der Lösung nach "Schema F".

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