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Schnittwinkel zweier Kreise (deren Tangenten)

Schüler

Tags: Kreis, Tangent, Winkel

Glenni aktiv_icon

21:20 Uhr, 03.06.2011

Ich muss den Schnittwinkel zweier Kreise berechnen.
Meine geplante Vorgangsweise:
Mittelpunkt beider Kreise berechnen
Schnittpunkte berechenen
Aus

M

und

S

Gerade ableiten
und danach???

Aber mein 1. Problem taucht schon am Beginn auf:

k 1 : x^{2} + y^{2} = 16

k 2 : x^{2} + y^{2} - 10 x + 16 = 0

M 1 = (\frac{0}{0}), M 2 (\frac{5}{0})

Schneiden der Kreise:

x^{2} - y^{2} = 16 = \Rightarrow y = x - 4

Ist das korrekt? Es kommt mir irgendwie falsch vor?
Kann man das so einfach rechnen?
Das

y

würde ich dann in

k 2

einsetzen.

Vielen Dank für Eure Unterstützung!

LG
Glenni

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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rundblick aktiv_icon

21:54 Uhr, 03.06.2011

kannst du herausfinden, wie gross denn die Radien
der beiden Kreise sind?

r 1 =

r 2 =

?

dann mach eine Zeichnung mit dem Zirkel

k 1 (M 1; r 1)

k 2 (M 2; r 2)

nenne einen der Schnittpunkte

B

und schau dir nun das Dreieck

M 1 M 2 B

ganz genau an

. .

. dann bist du nämlich schon fertig

Atlantik aktiv_icon

04:44 Uhr, 04.06.2011

Hallo Glenni,
du rechnest

x^{2} - y^{2} = 16

Das ist zunächst mal eine Hyperbel und kein Kreis und daraus dann

y = x - 4

Wie du schon ahnst, das ist falsch.
Also du hast

x^{2} + y^{2} = 16

das ergibt

y^{2} = 16 - x^{2}

diesen Wert setzt du nun in den 2.Kreis für

y^{2}

ein.Nun findest du die x-Werte für die beiden Kreisschnittpunkte. Weiter

\frac{y_{1}}{2}

ausrechnen. Mit den Normalengleichungen kommst du an die Tangentengleichung

Alles Gute

Atlantik

rundblick aktiv_icon

11:23 Uhr, 04.06.2011

"..kommst du an die Tangentengleichung "

@ Atlantik :
weiss nicht, ob du kapiert hast: Glenni will keine Tangentengleichung
sondern nur den Schnittwinkel. /Siehe ganz oben: "Ich muss ..."

Und den bekommt Glenni ganz einfach aus dem Dreieck

M 1 M 2 B

(mit den schönen pythagoräischen Seiten) .. siehe oben.

Oder, Atlantik, bist du etwa einer der Sorte: "Warum denn einfach,
wenn es auch kompliziert geht?"

Atlantik aktiv_icon

12:43 Uhr, 04.06.2011

@rundblick,

in der Aufgabe steht geschrieben, dass man den Schnittwinkel zweier Kreise berechnen soll. Für mich geht das Berechnen des Schnittwinkels über das Aufstellen der beiden Tangentengleichungen im Schnittpunkt beider Kreise, um dann mit der Formel

tan (α) = \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{1} \cdot m_{2}}

auf den Schnittwinkel zu kommen.

mfG

Atlantik

rundblick aktiv_icon

13:04 Uhr, 04.06.2011

@Atlantik :

lieb, dass du dich bemühst, mir die altbekannte 0-8-15-Methode zu erklären. Danke.

manchmal, wenn es besonders trivial einfacher geht.
kann man aber ruhig die Scheuklappen abnehmen .

Und selbst jetzt darfst du ja rechnen:
die Mittelpunkte,
die Radien ..
der Rest ergibt sich dann halt bei diesem Beispiel gerade von alleine
.. nur etwas Mitdenken und dem Herrn Pythagoras danken.

Atlantik aktiv_icon

13:18 Uhr, 04.06.2011

Hallo,

vielleicht ist ja diese Formel für Glenni keine

0 - 8 - 15

Formel,

vielleicht auch im Hinblick auf eine Aufgabe wie Schnittwinkel zweier

Kreise

x^{2} + y^{2} = 25

und

{(x - 6)}^{2} + y^{2} = 36

Alles Gute

Atlantik

rundblick aktiv_icon

13:41 Uhr, 04.06.2011

@ Atlantik

dein neues Beispiel hat ja wenig mit dem von Glenni zu tun
und verwirrt sie hoffentlich nicht.

aber damit du auch noch dazulernst: es muss echt nicht immer
nur der festgefahrene (einzig bewährte?) Weg des Lehrers sein:

Bei deinem neuen Beispiel kannst du aus dem Dreieck mit den Seiten

6; 6; 5

mühelos mit elementaren Kenntnissen zur Winkelberechnung direkt den
Winkel zwischen den Berührradien berechnen. Versuchs ..
Und überlege, warum du dann auch schon den Schnittwinkel der Tangenten kennst.

Alles Gute

Atlantik aktiv_icon

13:51 Uhr, 04.06.2011

@rundblick,

da werde ich mich ja dann mal bei Gelegenheit dranmachen.

("Festgefahren" kann ich in meinem Falle wohl nicht sagen, denn ich war die allermeiste Zeit meines Lehrerdaseins an Grundschulen beschäftigt.

Mir macht Mathe einfach recht viel Spaß.

Alles Gute

Atlantik

Glenni aktiv_icon

17:33 Uhr, 04.06.2011

Danke für Eure Mühe, soweit ich jetzt herausgefunden habe, muss ich die Lösung irgendwie mit Vektoren zu stande bringen.
Ich habe die Schnittpunkte berechnet

S 1 (\frac{3,2}{2,4})

und

S 2 (\frac{3,2}{- 2,4})

Der Winkel zwischen zwei Geraden wird berechnet mit

cos α = \frac{g 1 \cdot g 2}{| g 1 | \cdot | g 2 |}

wobei

g 1

und

g 2

die Richtungsvektoren der Tangenten sein müssten.

Diese Richtungsvektoren habe ich berechnet aus (Vektor) MS1 und MS2.
Vektor MS1

= (\begin{matrix} 3,2 \\ 2,4 \end{matrix})

und Vektor MS2

= (\begin{matrix} 3,2 \\ - 2,4 \end{matrix})

Wenn man diese Werte in die Formel einsetzt, sollte der Winkel 90° ergeben. Tut er aber nicht - zeichnerisch schon.

Wo ist mein Denkfehler?

Vielen Dank!

LG
Glenni

Shipwater aktiv_icon

17:42 Uhr, 04.06.2011

Richtungsvektoren können

\vec{M S_{1}} = (\begin{matrix} 3,2 \\ 2,4 \end{matrix})

und

\vec{M_{2} S_{1}} = (\begin{matrix} - 1,8 \\ 2,4 \end{matrix})

sein. Aber was hindert dich den Lösungsweg von rundblick zu bemühen?

Glenni aktiv_icon

18:48 Uhr, 04.06.2011

Wir haben ähnliche Beispiele in der Schule mit Vektoren gelöst, dann ist für die HÜ kein anderer Weg erlaubt.

Meinen Denkfehler hast du schon geklärt, ich habe immer von

M 1

S 1

und

S 2

gerechnet.
Lt. deiner Lösung muss ich also von

M 1

S 1

und von

M 2

S 1

. DANKE!

Dann in die Formel einsetzen und RICHTIG!

DANKE!

LG
Glenni

Shipwater aktiv_icon

19:26 Uhr, 04.06.2011

Alles was im Unterricht mal besprochen/bewiesen wurde, sollte eigentlich auch erlaubt sein. Und der Lösungsweg von rundblick ist einfach um einiges schneller und auch weniger rechenlastiger als deiner. Im Endeffekt ist aber nur wichtig, dass du die Aufgabe lösen kannst. Ich hoffe du hast dir auch eine Skizze erstellt, denn damit solltest du dann auch verstehen warum man was als Richtungsvektor bemühen kann.

Glenni aktiv_icon

15:34 Uhr, 05.06.2011

Ich kann mich nur nochmals bedanken!

Skizzen mache ich mir immer, sonst bin ich ganz verloren.
Die restlichen Bsp. zum Thema konnte ich 'problemlos' lösen, ich hab's also verstanden :-)

Mein neues Problem sind Extremwertaufgaben - siehe neues Thema.

Danke!

LG
Glenni

Shipwater aktiv_icon

15:39 Uhr, 05.06.2011

Schön, dass du es verstanden hast.

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