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Simpsonregel, Parabel näherung?

Schüler Gymnasium,

Tags: Parabel, Simpsonregel

xxxxFabi aktiv_icon

17:09 Uhr, 10.02.2015

Hallu,
Ich beschäftige mich zurzeit mit der Simpsonregel(Zwecks gfs) und hab das meiste schon fertig gestellt bis mir folgendes aufgefallen ist:
Die Simpsonregel "funktioniert" ja im prinzip in dem man eine funktion durch eine exakt integrierbare Parabel ersetzt.
In wiefern wird diese Parabel überhaupt beachtet,

b . z . w

inwiefern wird sie überhaupt "konstruiert"?
Die formel ansich gibt ja keine Parabelgleichung sondern direkt einen orientierten Flächeninhalt aus, und sonstig wird die Parabel auch nicht näher beschrieben
http://de.wikipedia.org/wiki/Simpsonregel#mediaviewer/File:Simpsons_method_illustration.png
Hier wird gezeigt dass eine parabel konstruiert wird, aber nicht was damit gemacht wird.
Einfach irgendwelche Punkte könnte ich ja auch willkürlich wählen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade bestimmen

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Atlantik aktiv_icon

18:18 Uhr, 10.02.2015

f (x) = (x - 2) \cdot (x - 3) (x - 5) + 5 = (x^{2} - 5 x + 6) (x - 5) + 5 =

= x^{3} - 5 x^{2} - 5 x^{2} + 25 x + 6 x - 30 + 5 =

f (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 31 x - 25

Die Parabel

p (x)

ist gesucht

p (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

A (2 | 5)

p (2) = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c

4 a + 2 b + c = 5

B (6 | 17)

p (6) = a \cdot 6^{2} + b \cdot 6 + c

36 a + 6 b + c = 17

M (4 | 3)

p (4) = a \cdot 4^{2} + b \cdot 4 + c

16 a + 4 b + c = 3

a = 2

b = - 13

c = 23

p (x) = 2 x^{2} - 13 x + 23

Fläche unter der kubischen Parabel

A = \int_{2}^{6} (x^{3} - 10 x^{2} + 31 x - 25) \cdot d x = {[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{10}{3} x^{3} + \frac{31}{2} x^{2} - 25 x + C]}_{2}^{6}

A = [\frac{1}{4} \cdot 6^{4} - \frac{10}{3} \cdot 6^{3} + \frac{31}{2} \cdot 6^{2} - 25 \cdot 6 + C] - [\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{10}{3} \cdot 2^{3} + \frac{31}{2} \cdot 2^{2} - 25 \cdot 2 + C] = 22,666 . .

.

Fläche unter der Parabel

A = \int_{2}^{6} (2 x^{2} - 13 x + 23) \cdot d x = {[\frac{2}{3} x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} + 23 x + C]}_{2}^{6} = [\frac{2}{3} \cdot 6^{3} - \frac{13}{2} \cdot 6^{2} + 23 \cdot 6 + C] - [\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{13}{2} \cdot 2^{2} + 23 \cdot 2 + C] = 22,666

Aso sind die Flächen gleich groß.

Ich kann mir nun vorstellen, dass dieses Simpsonverfahren dann zum Tragen kommt, wenn unter höhergradigen Parabeln die Fläche berechnet werden soll.

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

xxxxFabi aktiv_icon

18:34 Uhr, 10.02.2015

Danke für die ausführliche antwort, aber inwiefern bezieht sich das jetzt auf meine Frage..?
Ich möchte ja wissen warum man von einer Parabel spricht, wenn diese garnicht berechnet

b . z . w

benutzt wird?

Atlantik aktiv_icon

18:41 Uhr, 10.02.2015

Ich sehe das so, dass mit der Zeichnung auf deinem Link beschrieben ist, wie man an die Funktion der Parabel kommt.

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} P (x) d x

mfG

Atlantik

xxxxFabi aktiv_icon

18:43 Uhr, 10.02.2015

ich weiß ja wie man an die parabel funktion kommt, die wird doch aber für das simpsonverfahren garnicht benötigt?
Warum steht das dann bei wikipedia :-D)

Atlantik aktiv_icon

18:50 Uhr, 10.02.2015

Die Parabelfunktion wird mit dem Simpsonverfahren aufgestellt.

Laut Wiki handelt es sich dabei um eine schwer integrierbare Funktion, wo das Simpsonverfahren Hilfe bringt.

mfg

Atlantik

xxxxFabi aktiv_icon

18:52 Uhr, 10.02.2015

Genau deswegen frag ich ja, die Parabel wird eben nicht mit der simpsonregel berechnet sondern der Flächeninhalt

Atlantik aktiv_icon

19:10 Uhr, 10.02.2015

Ich habe es so verstanden, dass erst die Parabel über "Simpson" gefunden werden muss, um dann auf die Fläche zu kommen.

Aber weitergehendes kann ich nun auch nicht mehr.

mfG

Atlantik

xxxxFabi aktiv_icon

19:12 Uhr, 10.02.2015

leider nicht, Die Simpsonformel wird ja direkt an der zu integrierenden Funktion verwendet

ledum aktiv_icon

19:36 Uhr, 10.02.2015

Hallo
Man konstruiert die Parabel nicht wirklich, sondern man nutzt aus, dass man jede Parabel exakt integriert, wenn mann

(f (a) + 4 \cdot \frac{f (a + b)}{2} + f (b)) \cdot \frac{a - b}{6}

rechnet-
Wenn man also ein anderes

f (x)

mit der Simpsonregel integriert, ist es dasselbe als ob man eine Parabel, die durch die Punkte

(a, f (a)); (\frac{a + b}{2}, \frac{f (a + b)}{2})

und

(b, f (b))

ginge, dazu muss man ihre Formel nicht kennen

d, h,

man rechnet den Flächeningalt der gezeichneten Parabel aus, man konstruiert sich nicht.
für dein GFS solltest du also zeigen, dass eine Parabel durch die Simpson Formel exakt integriert wird,
es reicht das für eine Parabel

x^{2}

zu zeigen, den eine Gerade ax+b wird sowieso durch die Formel exakt integriert
Gruss ledum

xxxxFabi aktiv_icon

20:02 Uhr, 10.02.2015

Also besteht in der formel kein direkter bezug zur gedachten Parabel?
Meine sorge war halt, dass mich mein lehrer dann fragt, ja du redest da von parabel, aber wozu brauchst du die überhaupt?
Im prinzip braucht man sie ja nicht, die Formel ist halt einfach da und das wäre dann die antwort, die ich allerdings ja nicht begründen kann.
Ist halt einfach so hört sich bisle dumm an :-D)

dapso aktiv_icon

20:09 Uhr, 10.02.2015

Hallo,

bei der Simpsonregel wird die Parabel schon explizit bestimmt. Allerdings ist das in der Endform die du in dem Link hast nicht mehr so direkt zu sehen. Im Prinzip wird die Parabel durch die Vorfaktoren

\frac{1}{6}

\frac{4}{6}

und

\frac{1}{6}

"dargestellt". Ohne Vorwissen von dir wird es aber schwierig das hier in Kürze genau zu erklären. Das Themengebiet nennt sich numerische Quadratur. Such einfach mal danach. Davor wäre es hilfreich sich kurz mit der Lagrange Interpolation zu beschäftigen.

Hier mal ein erster nützlicher Link:

http://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CCcQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.math.uni-hamburg.de%2Fteaching%2Fexport%2Ftuhh%2Fcm%2Fa2%2F07%2Fvorl12_ana.pdf&ei=zVbaVIuRA4PEPOfxgaAB&usg=AFQjCNG2RmuEFE1h-LavR_flOyyZMk3fuw&bvm=bv.85464276,d.ZWU

xxxxFabi aktiv_icon

20:13 Uhr, 10.02.2015

Danke für die antwort
Wenn man sie nicht wirklich in der Formel erkennt, nehme ich mal an dass ich nicht näher darauf eingehen muss.
Der Link war zwar nützlich, wird aber für

90 %

meines Kurses wahrscheinlich unverständlich sein da wir das noch nicht behandelt haben.(Hab mir interpolation seperat angeguckt)

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