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Sinus 2.Lösung

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: mehrere Kösungen, Sinus

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15:36 Uhr, 28.02.2014

Hi,
Ich habe folgende Funktion nach

x

aufgelöst. Wenn ich dann den

{sin}^{- 1}

mit dem GTR ausrechne komme ich auf

x = 7,28

.
Wie komme ich aber auf den zweiten Wert im Intervall

[6; 24]

?
Wenn ich es so wie unten im Bild in den GTR eingebe komme ich nur auf die eine Lösung. Wenn ich es aber zeichne sehe ich, dass es eine weitere Lösung im Intervall gibt.
Wie komme ich da durch Rechnung drauf?

Vielen Dank für eure Antworten im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

15:40 Uhr, 28.02.2014

Hallo,

berechne die Periodenlänge

p

der angegebenen Funktion und bedenke, dass immer gilt:

sin (\frac{p}{2} - x) = sin (x)

prodomo aktiv_icon

15:44 Uhr, 28.02.2014

Bevor der Tippfehler für Verwirrung sorgt: es soll

\frac{π}{2} - x

heißen, nicht

\frac{p}{2} - x

Bummerang

15:55 Uhr, 28.02.2014

Hallo prodomo,

Nein, es soll

\frac{p}{2}

heissen! Die Periodenlänge ist

p

und der Sinus ist negativ symmetrisch zur halben Periodenlänge! Es gilt ja auch

sin (π - x) = x

wenn die Periode

2 \cdot π

ist. Allerdings ist ein anderer Fehler drin! Korrekt ist:

sin (h (\frac{p}{2} - x)) = sin (h (x))

wenn

h (x)

beim Sinus eine Periodenlänge von

p

verursacht!

TermX aktiv_icon

09:56 Uhr, 01.03.2014

Ok, danke für eure Antworten.
Also die Periodenlänge

p

ist doch:

p = 2 \cdot \frac{π}{b}

Und

b

ist in diesem Fall ja

0,27

.

Also wäre

p = 2 \cdot \frac{π}{0,27} = 200 \cdot \frac{π}{27}

So jetzt habe ich die Periodenlänge.

Und wie geht's jetzt weiter?
Jetzt muss ich die ja oben einsetzten, oder?
So ganz kapiere ich noch nicht wie ich jetzt auf den 2. x-Wert kommen soll.

Edddi aktiv_icon

16:26 Uhr, 02.03.2014

. .

. dein Taschenrechner gibt dir natürlich nur eine Lösung an.

Deine Ausgangsgleichung:

y = a \cdot sin (b \cdot x + c) + d

diese hast du nach

x

aufgelöst.

Da nun

sin (x) = sin (π - x)

ist auch

sin (b \cdot x + c) = sin (π - b \cdot x - c)

Setze also zur Findung der 2. Lösung diesen Term in deine Gleichung ein und stell dann nach

x

um.

:-)

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20:12 Uhr, 03.03.2014

Wie kommst du darauf, dass

sin (π - x) = sin (x)

und wie kommst du von

sin (b \cdot π + c) = sin (π - b \cdot x - c)

?
Sry. aber ich kappiere das einfach nicht.
Für eine Erklärung wäre ich sehr dankbar. :-)

Edddi aktiv_icon

20:40 Uhr, 03.03.2014

...spiegelt man die Sinusfkt.

sin (x) \Rightarrow - sin (x)

und bedenkt die Symmetrie

sin (x) = - sin (- x) \Rightarrow - sin (x) = sin (- x)

so kann die gespiegelte Sinusfkt. dargestellt werden als

sin (- x)

. Diese noch um

- π

verschoben ergibt wieder die Sinusfkt.

Somit

sin (x) = sin (π - x)

Statt

x

haben wir nun den Term

b \cdot x + c,

dies einsetzen ergibt

sin (b \cdot x + c) = sin (π - (b \cdot x + c)) = sin (π - b \cdot x - c)

:-)

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19:10 Uhr, 04.03.2014

Aaaaaaaaaa.
Jetzt hab ich's verstanden vielen vielen Dank. :-D)

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12:24 Uhr, 07.03.2014

Sry. dass ich die Fage nochmal aufgreife.
Aber ich hab mir die Aufgabe nochmal angeschaut.
Dass

sin (x) = - sin (x + π)

bzw. wie es Eddi ausgedrückt hat:

sin (x) = s (Π - x)

ist, habe ich jetzt verstanden.
Aber wie muss ich damit jetzt weiter rechnen?
Muss ich jetzt die erhaltene Gleichung nach

x

umformen und dann für das

x

in die (im Bild umgeformten Gleichung) einsetzen?
Wenn ja, wie forme ich die Gleichung nach

x

um?

Edddi aktiv_icon

12:59 Uhr, 07.03.2014

21 = 2,91 \cdot sin (0,27 \cdot x - 1,64) + 20,07

Daraus

x :

\frac{21 - 20,07}{2,91} = sin (0,27 \cdot x - 1,64 + 2 \cdot k \cdot π)

\frac{a r c s i n (\frac{21 - 20,07}{2,91}) + 1,64 - 2 \cdot k \cdot π}{0,27} = x = 7,2788 ... - \frac{2}{0,27} \cdot k \cdot π

Die 2. Lösung dann so, da

sin (0,27 \cdot x - 1,64) = sin (π - (0,27 \cdot x - 1,64)) = sin (π - 0,27 \cdot x + 1,64)

bzw.

sin (0,27 \cdot x - 1,64 + 2 \cdot k \cdot π) = sin (π - (0,27 \cdot x - 1,64) + 2 \cdot k \cdot π))

21 = 2,91 \cdot sin (π - (0,27 \cdot x - 1,64) + 2 \cdot k \cdot π)) + 20,07

\frac{21 - 20,07}{2,91} = sin (π - (0,27 \cdot x - 1,64) + 2 \cdot k \cdot π)

\frac{1,64 + π + 2 \cdot k \cdot π - a r c s i n (\frac{21 - 20,07}{2,91})}{0,27} = x = 16,5048 . .

+ \frac{2}{0,27} \cdot k \cdot π

;-)

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12:04 Uhr, 08.03.2014

Ja, ich hab's verstanden.
Aber noch kurz eine weitere Frage.
sin(pi-x) ist doch das Gleiche wie -sin(x+pi).

Dann müsste man doch auch mit dem 2. Ausdruck rechnen können.
Wenn ich das aber damit rechne, komm ich auf x=-6,77
Was mache ich falsch?

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12:30 Uhr, 09.03.2014

Nein, ich bin immer noch an der Frage interessiert. ;-)

Edddi aktiv_icon

19:18 Uhr, 09.03.2014

Du hast nichts falsch gemacht! Setz doch oben mal in der 2. Lösung mal

k = - 1

ein.

Bedenke dass es unendlich viele Lösungen gibt.

Ich hatte die Hauptlösungen im Bereich 0 bis 1 Periode und deine Lösungen sind im Bereich von minus einer halben bis plus einer halben Periode.

:-)

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18:49 Uhr, 10.03.2014

A,ok
Aber wo her weiß ich welchen Ansatz ich nehmen muss (z.B. Wenn die xWerte zwischen 0und 20 liegen sollen.)

Edddi aktiv_icon

19:26 Uhr, 10.03.2014

. .

. es spielt keine Rolle, welchen Ansatz du wählst, solange du die Periodizität nicht aus den Augen verlierst.

Damit könntest du dann

z . B

. auch alle Lösungen im Intervall

[111,225]

angeben.

Der Faktor vor dem

x

bestimmt die Periode. Bei

1 \cdot x

wär sie

2 \cdot π,

bei

2 \cdot x

ist sie

\frac{2 \cdot π}{2} = π

und bei

a \cdot x

ist sie eben

\frac{2 \cdot π}{a}

und schlussendlich bei

0,27 \cdot x

ist die Periode

\frac{2 \cdot π}{0,27} = \frac{2}{0,27} \cdot π

Erzeuge bei Sinus also Lösungen von

sin (a \cdot x + b)

und

sin (π - a \cdot x - b)

und dann jeweils die Perioden

k \cdot \frac{2 \cdot π}{a}

nicht vergessen, um die Lösungen in einem bestimmten Intervall zu bestmmen. Oder eben die beiden Lösungen mit Ausdruck zusammen angeben und fertig.

Beim Kosinus ist es wieder anders (zumindestens im ersten Step). Hier sucht man die beiden Lösungen von

cos (a \cdot x + b)

und

cos (- a \cdot x - b)

und hängt dann wieder die Periode (wie gehabt) ran.
Dies deswegwn, weil bei Kosinus gilt:

cos (x) = cos (- x)

:-)

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21:27 Uhr, 12.03.2014

Ok, danke dir. ;-)

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