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Sinus x kleiner/größer als x

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Sinus, Ungleichung

user13120 aktiv_icon

15:41 Uhr, 06.01.2022

Moin,

wir haben in der letzten VL Sinus als Im(

e^{i \cdot x})

definiert, bzw. als Reihe.

Wir wissen, dass Sinus stetig ist und meine Idee war zu zeigen, dass eine Funktion

f,

die Sin(x) abbildet, und eine Funktion

g,

die

x

(Winkelhalbierende) abbildet, nur einen einzigen Schnittpunkt haben (und zwar bei

0)

. Dementsprechend sind die Funktionswerte der einen Funktion immer

\leq

als die Werte der anderen Funktion, weil ein weiterer Schnittpunkt notwendig wäre, um die Ungleichung ,,umzudrehen". Da Sinus

(\frac{π}{2}) = 1

ist, folgt daraus direkt, dass

f (\frac{π}{2}) \leq g (\frac{π}{2})

gilt und

f (x) \leq g (x)

ist.

Habe nur Probleme zu zeigen, dass auch wirklich kein weiterer Schnittpunkt folgt. Nach bisschen umformen habe ich

0 = - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - + . .

. raus.

Jemand eine Idee, wie ich da weiter komme oder einfach von Grund auf einen einfacheren Lösungsweg?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

16:50 Uhr, 06.01.2022

Es ist einfach, wenn man weiß, dass

(\sin (x))^{ʹ} = \cos (x)

. Und wenn ihr Sinus als Reihe definiert haben, soll es eigentlich bekannt sein.
Denn dann haben wir für

f (x) : x - \sin (x)

f^{ʹ} = 1 - \cos (x) > 0

für alle

x

aus

(0, π / 2)

und damit

f

monoton steigend dort, also

x - \sin (x) > 0

für alle

x \in (0, π / 2)

. Da

x - \sin (x)

ungerade ist, haben sofort auch

∣ \sin (x) ∣ \leq ∣ x ∣

für alle

x \in (- π / 2, π / 2)

. Und außerhalb dieses Intervalls ist die Ungleichung trivialerweise erfüllt.

user13120 aktiv_icon

19:43 Uhr, 06.01.2022

ist mit ,,(sin(x))ʹ " die Ableitung gemeint? Wenn ja, dann muss ich leider enttäuschen, wir hatten das nämlich noch nicht :-D)

DrBoogie aktiv_icon

21:03 Uhr, 06.01.2022

Die Frage ist, was könnte ich dann überhaupt nutzen?
Ist zumindest

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1

bekannt?
Du kannst auf jeden Fall einen Blick hier reinwerfen:
math.stackexchange.com/questions/125298/how-to-strictly-prove-sin-xx-for-0x-frac-pi2

user13120 aktiv_icon

21:13 Uhr, 06.01.2022

Ne auch das ist nicht bekannt :-D)
Sonst ist auch egal, ich argumentiere das einfach so gut ich kann und gut ist :-)

HAL9000

21:57 Uhr, 06.01.2022

Das ist das Kreuz bei solchen Aufgaben: Was darfst du überhaupt schon nutzen? Muss man alles vom Urschleim her folgern? Dann kann das eine sehr langwierige Angelegenheit werden...

1) Ok, man geht von der Exponentialreihe

\exp (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{z^{k}}{k!}

aus.

2) Dann definiert man sin/cos nicht auf geometrischem Weg, sondern analytisch über

\sin (z) := \frac{\exp (i z) - \exp (- i z)}{2 i}

und

\cos (z) := \frac{\exp (i z) + \exp (- i z)}{2}

was zumindest für reelle

z = x

gleichbedeutend mit deinem oben angedeuteten

\sin (x) = Im (\exp (i x))

und

\cos (x) = Re (\exp (i z))

ist.

3) Gliedweise Ableitung der Potenzreihe ergibt

(\exp (z))' = \exp (z)

, damit ergibt sich aus 2) unter Verwendung der Kettenregel

(\sin (z))' = \cos (z)

und

(\cos (z))' = - \sin (z)

.

4) Über Cauchy-Produkt kann man nachweisen

\exp (z_{1}) \cdot \exp (z_{2}) = \exp (z_{1} + z_{2})

, damit folgt aus 2) speziell auch

\sin^{2} (z) + \cos^{2} (z) = \frac{\exp (2 i z) - 2 + \exp (- 2 i z)}{- 4} + \frac{\exp (2 i z) + 2 + \exp (- 2 i z)}{4} = 1

.

und damit speziell für reelle

z = x

dann

∣ \sin (x) ∣ \leq 1

und

∣ \cos (x) ∣ \leq 1

, usw.

Ich könnte mir vorstellen, dass die eine oder andere dieser Schlussfolgerungen bei euch schon gelaufen sind. Leider sind Fragesteller wie du immer sehr gesprächig in der Jammer-Kategorie "haben wir nicht gehabt", aber äußerst zugeknöpft wenn es darum geht zu schildern, was denn schon alles bekannt ist...

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