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Stationäre Punkte

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Tags: Funktion, Trigonometrische Funktionen

 
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elson1608

elson1608 aktiv_icon

10:41 Uhr, 23.03.2023

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Ich möchte gerade die stationären Punkte folgender Funktion bestimmen:

f(x,y)=sin(x)+sin(x)+cos(x+y) für 0≤x,y≤π/2

Ich habe bereits die partiellen Ableitungen gebildet:


fx(x,y)=cos(x)-sin(x+y)
fy(x,y)=cos(y)-sin(x+y)


Setzt man diese Gleichungen 0 so erhält man zwei Gitter, die stationären Punkte sind dann jene Punkte wo sich diese zwei Gitter schneiden:


0=cos(x)-sin(x+y)
0=cos(y)-sin(x+y)


Jedoch ist es mir nicht gelungen diese Schnittpunkte effizient herauszufinden. Ich denke ich übersehe hier etwas, da ich denke dieses Beispiel müsste effizienter lösbar sein als durch das Schneiden zweier Gitter eventuell durch trigonometrische Identitäten.

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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KL700

KL700 aktiv_icon

10:46 Uhr, 23.03.2023

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Das eine sinx soll vermutlich ein cosx sein in der Angabe.
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HAL9000

HAL9000

11:04 Uhr, 23.03.2023

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Aus beiden Gleichungen folgt wiederum cos(x)=cos(y). Das ist genau dann erfüllt, wenn einer der beiden folgenden Fälle eintritt:

1) y=x+2kπ

2) y=-x+2kπ

Dabei ist k eine ganze Zahl. Bei deinem eingeschränkten Wertebereich x,y∈[0,π2] kommt aber offenbar nur Fall 1) und der auch nur mit k=0 in Frage! (bei allgemeinem x,y∈ℝ wäre nun viel mehr zu tun...)

Wir bekommen somit y=x und damit Forderung cos(x)=sin(2x)=cos(2x-π2). Das wiederum geht auch wieder nur mit entweder

1.1) 2x-π2=x+2mπ, aufgelöst x=π2(4m+1), oder

1.2) 2x-π2=-x+2mπ, aufgelöst x=π6(4m+1).

Bei 1.1) und auch 1.2) kommen wegen unserer Intervalleinschränkung wieder nur jeweils m=0 in Frage. Das ergibt die beiden (x,y)-Lösungspaare (π2,π2) sowie (π6,π6).


P.S.: Alternativ wäre im letzten Teil via Additionstheorem sin(2x)=2sin(x)cos(x) die Umformung von cos(x)=sin(2x) zu (2sin(x)-1)cos(x)=0 und dann Anwendung Nullproduktsatz möglich gewesen. Kommt vom Ergebnis her natürlich aufs selbe hinaus. ;-)
elson1608

elson1608 aktiv_icon

11:41 Uhr, 23.03.2023

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Nein da gehört sin(y) hin sorry
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ledum

ledum aktiv_icon

12:18 Uhr, 24.03.2023

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