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Steckbriefaufgabe Parabel

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Funktionen

Tags: Parabel, Rekonstruktion von Funktionen

Robbie98 aktiv_icon

22:56 Uhr, 28.05.2023

Schönen guten Abend,
ich brauche bitte eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

y = g (x) = - 0,05 \cdot x + 0,3

Der Teil des Brückenbogens zwischen den Punkten E(-2│g(-2)) und F(2│g(2)) kann durch eine ganzrationale Funktion

p

zweiten Grades beschrieben werden. Der Brückenbogen und die Fahrbahn schließen im Punkt

E

einen Winkel von 45° ein.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion

p

.

Ich habe folgenden Ansatz:

p (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

p' (x) = 2 \cdot a \cdot x + b

g' (x) = - 0,05

g (- 2) = 0,4

g (2) = 0,2

Bedingungen für LGS:
I

p (- 2) = 0,4

p (2) = 0,2

III

\frac{p' (- 2) - (- 0,05)}{1 + p' (- 2) \cdot (- 0,05)} = 1

(da

tan (45) = 1)

Ich komme leider jedoch nicht auf die vorgesehene Funktionsgleichung der Parabel, daher frage ich euch, wo mein Denkfehler liegt?

Vielen Dank für eure Hilfe! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
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calc007

23:23 Uhr, 28.05.2023

Hallo
Von einem 'Denkfehler' will ich noch gar nicht mal unbedingt sprechen, auch wenn du nicht sonderlich gut erklärst, was du denkst.
Deine Gleichungen lassen aber schon prinzipiell erahnen und hoffen.
Gleichung I und II sind auf jeden Fall schon tadellos.
Zu Gleichung III:
Vielleicht geht's ja auch, wie von dir angerissen.
Aber warum nicht einfach einfach....
Die tan(45°) sind jedenfalls schon ein lobenswerter Gedanke.
Aber

>

Welchen Winkel hat denn die Fahrbahn gegenüber der Horizontalen?

>

Welchen Winkel erwartest du daher für die (Tangente der) Parabel gegenüber der Horziontalen?

>

Wie würdest du denn den Winkel einer Funktion direkt beschreiben?

>

Willst du hierzu deine Ansatzgleichung mal ableiten?

pivot aktiv_icon

23:26 Uhr, 28.05.2023

Hallo,

sieht alles sehr gut aus. Wenn man die ersten beiden Bedingungen ausschreibt, dann stheht da

4 a - 2 b + c = 0, 4

4 a + 2 b + c = 0, 2

Zweite Gleichung von der ersten abziehen.

- 4 b = 0, 2 \Rightarrow b = - 0, 05 (*)

Und bei der dritten Bedingung ist die Gleichung

- 4 a + b - 0, 05 = 1 + (- 4 a + b) \cdot (- 0, 05)

Rechte Seite ausmultiplizieren

- 4 a + b - 0, 05 = 1 + 0, 2 a - 0, 05 b

1, 05 b = 4, 2 a + 1, 05

Durch

1, 05

b = 4 a + 1

Mit Hilfe von (*) kann man jetzt

a

berechnen.

Gruß
pivot

Anbei die entsprechenden Funktionsgrafen.

michaL aktiv_icon

10:09 Uhr, 29.05.2023

Hallo,

um zu klären, wo bei deinen Gleichungen das Problem liegt, probiere doch bitte einmal aus, in der 3. Gleichung die Minuszeichen korrekt zu verwenden. Ich fürchte, genau dort liegt der Hund begraben.

Ich habe (wie calc007) auch eher eine Gleichung der Art

p ʹ (- 2) = \tan (\frac{π}{4} - \arctan (0, 05))

.
Diese führt zu einer korrekt aussehenden Lösung wie bei pivot. (Habe auch(?) (wx)maxima genommen.)
Wenn wir das ganze so herum schreiben wollen, wie du es dir gedacht hast, dann etwa so:

\tan (\arctan (p ʹ (- 2)) + \arctan (0, 05)) = 1

.

Wenn du nun das Additionstheorem des Tangens darauf loslässt, müsste es

\frac{p ʹ (- 2) + 0, 05}{1 - p ʹ (- 2) \cdot (0, 05)} = 1

lauten.

Ich habe es nicht damit gerechnet, denke aber, dass das die Lösung deines Problems ist.

Mfg Michael

pivot aktiv_icon

16:24 Uhr, 29.05.2023

>>Diese führt zu einer korrekt aussehenden Lösung wie bei pivot. (Habe auch(?) (wx)maxima genommen.)<<

Ich habe den Funktionsplotter auf der Seite www.mathe-fa.de/de verwendet.

pivot aktiv_icon

21:32 Uhr, 29.05.2023

@MichaL
>>Wenn du nun das Additionstheorem des Tangens darauf loslässt, müsste es

\frac{p ʹ (- 2) + 0, 05}{1 - p ʹ (- 2) \cdot (0, 05)} = 1

<<

Im Nenner müsste es

(- 0, 05)

sein, wenn ich mich nicht irre. Den Ausdruck hatte der OP ja schon gepostet.

michaL aktiv_icon

21:58 Uhr, 29.05.2023

Hallo,

also, ich komme von:

p ʹ (- 2) = \tan (\frac{π}{4} - \arctan (0, 05))

Das wird zu:

\arctan (p ʹ (- 2)) = \frac{π}{4} - \arctan (0, 05)

\arctan (p ʹ (- 2)) + \arctan (0, 05) = \frac{π}{4}

\tan (\arctan (p ʹ (- 2)) + \arctan (0, 05)) = \tan (\frac{π}{4}) = 1

Das Additionstheorem für den Tangens mit "+" lautet:

\tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}

Damit wird die letzte Gleichung doch zu:

\frac{p ʹ (- 2) + 0, 05}{1 - p ʹ (- 2) \cdot 0, 05} = 1

Kannst du da nochmal drüberschauen?

Mfg Michael

Roman-22

01:11 Uhr, 30.05.2023

Ich denke, dass der Term von michaL richtig ist.

Warum aber nicht gleich den Ansatz

p' (- 2) = tan (\frac{π}{4} - a r c t a n 0,05)

wählen und darauf das Additionstheorem loslassen (und natürlich

tan (\frac{π}{4}) = 1

und

tan (a r c t a n 0,05) = 0,05)

p' (2) = \frac{1 - 0,05}{1 + 0,05} = \frac{19}{21}

Das führt dann mit den anderen beiden Bedingungen zur nachstehend angegebenen Parabelgleichung

Dass die Bedingung III von Robbie98 falsch ist sieht man ja auch daran, dass aus ihr

p' (2) = 1

folgen würde. Aber falls Robbie98 überhaupt noch Interesse hat (er hat sich ja hier im Thread bisher nicht mehr eingebracht), dann kann er ja detailliert erklären, wie er auf seine dritte Bedingung gekommen ist, dann würde man seinen Vorzeichenfehler schon finden.

pivot aktiv_icon

06:50 Uhr, 30.05.2023

@MichaL

Dein Ansatz ist mir zu hoch um etwas Qualifiziertes dazu sagen zu können. Ich hoffe,dass ihr es herausfinden werdet was bei welchem Ansatz schief bzw. richtig gelaufen ist. Ich muss da leider passen.

Roman-22

13:05 Uhr, 30.05.2023

@pivot

Bei michaL's Ansatz steckt doch auch nur das Tangens-Additionstheorem dahinter.

Um festzumachen, welchen Fehler der OP gemacht hat, müsste er wieder etwas Interesse an dem Thead zeigen und erklären, wie genau er auf seine dritte Bedingung gekommen sein will.

Ob du mit der richtigen dritten Bedingung gerechnet hast, das lässt sich anhand des von dir geposteten Plots schwer sagen. Zum einen wegen der dort so ungleichen Achsenskalierungen und zum anderen, weil die Unterschiede nicht all zu groß sind, wie nachstehende Zeichnung zeigt. Die (falsche) grüne Kurve ist jene, die man mit dem vorzeichenfalschen Ansatz bekommt.
Aber du kannst ja bei deiner Lösung auch rechnerisch kontrollieren, ob die Differenz der Anstiegswinkel an der Stelle

- 2

wirklich 45° ist.

EDIT: Hab mir deine Rechenfragmente angesehen und mit deiner Rechnung kommst du auf

a = - \frac{21}{80},

was leider der falschen "Lösung" entspricht.

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