Summation von cos und sin (Bogenmaß/Gradmaß)

Hallo Leute,

ich habe ein Problem damit, den cos bzw. sin von ${\displaystyle \frac{19\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}}$ als reelle Zahl (ohne TR) anzugeben und wollte wissen, ob das folgendermaßen funktioniert:

Ich habe eine Liste mit den gängigsten Werten für cos und sin. U.a. sind ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}*(1+\sqrt{3})}{4}}$ und ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{11\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)=-\frac{\sqrt{2}*(1+\sqrt{3})}{4}}$ sowie ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{7\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)=-\frac{\sqrt{2}*(\sqrt{3}-1)}{4}}$.

Nun müsste ich doch eigentlich durch Addition von ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)+}$${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{11\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)+}$${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{7\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)}$ bzw. der entsprechenden Werte auf den Wert von ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{19\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)}$ kommen oder? Was ja logisch ist, da ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{19\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)}$ nichts anderes ist als ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(1\frac{7\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)}$, also praktisch nur um ein ${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=180\mathrm{°<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ weiter dreht.

Nur wenn ich tatsächlich ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{7\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)=-\frac{\sqrt{2}*(\sqrt{3}-1)}{4}}$ ausmultipliziere kommt ${\displaystyle \frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=-0,26}$ heraus. Wohingegen mit der Taschenrechner als Kontrollinstrument für ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{19\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)=0,26}$ ausspuckt.

Wie soll ich das verstehen? Habe ich irgendetwas nicht bedacht?

LG & Dank, Max

Hi DmitriJakov. Klar, so sollte es auch gehen. Ist sogar viel eleganter. Aber ich habe mich halt an den Werten auf unserem Blatt orientiert und es muss ja auch damit funktionieren, wenn der Lösungsweg auch nicht so geschickt ist.

Wäre nett, wenn du mir meinen Fehler zeigen könntest, ich komme nämlich garnicht damit klar, warum das nicht stimmt.

LG & Dank, Max

Okay. Die Ergebnisse sind verschieden. Also ist meine Rechnung falsch. Ich darf den Bruch aber trotzdem so aufspalten: ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{19\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)\iff \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\frac{11\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}+\frac{7\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}+\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12})}$.

Nur stehe ich gerade auf dem Schlauch. Muss ich das dann einfach geometrisch interpretieren? So wie du das gemacht hast, nur mit ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\frac{12\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}+\frac{6\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}+\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12})}$. Ist das dann so richtig: ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(180\mathrm{°<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+90\mathrm{°<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+15\mathrm{°<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(285\mathrm{°<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ gegen den Uhrzeigersinn. D.h. (sollte dazu sagen, dass es sich hierbei um den Realteil einer komplexen Zahl handelt) der Zeiger liegt im 4. Quadranten mit Gegenwinkel von der positiven x-Achse aus von ${\displaystyle -75\mathrm{°<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ oder bin ich jetzt voll auf dem Holzweg?

Naja, das bringt mir leider nicht viel, da ich keine geometrische Interpretation brauche sondern einen Wert, mit dem ich weiter rechnen kann.

Hab das jetzt so gelöst:

${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{19\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)=\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\frac{12\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}+\frac{6\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}+\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12})=\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{-5\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)}$

und da gilt ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ und ich weiß, dass ${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{5\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}*(\sqrt{3}-1)}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$ komme ich so auf das selbe Ergebnis wie mit dem Taschenrechner.

${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ hat mir den Vorzeichenfehler eingebrockt mit dem alles anfing.

LG & danke für die Mühe!

Max

Danke für den Tipp.