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Trigonometrische Funktion

Schüler

Tags: Trigonometrische Funktionen

baumchen aktiv_icon

15:22 Uhr, 10.12.2013

Hallo,
Ich brauch Hilfe bei der Aufgabe:
An einem Sommertag in Stuttgart wurden um

14.00

Uhr als höchste Temperatur 30°C gemessen, am frühen Morgen dieses Tages betrug die tiefste Temperatur 16°C. Im Folgenden wird angenommen die Funktion

f (t)

mit f(t)=a*sin(1/12pi*t+c)+d beschreibe die Temperatur in °C an diesem tag in Abhängigkeit von der Zeit

t (\in

Stunden) nach Mitternacht.
Bestimmen sie

a c

und

d

Meine Frage ist glaub ich leicht zu beantworten:
Wie kann ich bei dieser Funktion

C

bestimmen?

f(t)=7sin(1/12*pi(t-C))+22

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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15:42 Uhr, 10.12.2013

d

sollte schon

23

sein, oder?

23 \pm 7 \Rightarrow 16 min

und

30 max

a ist OK!

setzt du

c = 0,

so geht die Periode von 0 Uhr bis

24

Uhr. Das Maximum wäre dann ja um 6 Uhr und das Minimum um

18

Uhr. das Maximum soll aber um

14

Uhr statt um 6 Uhr sein. Du musst die Fkt. also um

8 h

nach rechts verschieben.

Aber nicht vergessen:

sin (\frac{π}{12} \cdot t + c) = sin (\frac{π}{12} \cdot (t + \frac{12}{π} \cdot c))

Es muss also

t + \frac{12}{π} \cdot c = t - 8

und somit

\frac{12}{π} \cdot c = - 8 \Rightarrow c = - \frac{2}{3} \cdot π

Oder eben einfach ausrechnen durch einsetzen gegebener Punkt:

T (t) = 7 \cdot sin (\frac{π}{12} \cdot t + c) + 23

30 = 7 \cdot sin (\frac{π}{12} \cdot 14 + c) + 23

1 = sin (\frac{π}{12} \cdot 14 + c)

\frac{π}{12} \cdot 14 + c = \frac{π}{2}

c = \frac{π}{2} - \frac{7}{6} \cdot π = \frac{3}{6} \cdot π - \frac{7}{6} \cdot π = - \frac{4}{6} \cdot π = - \frac{2}{3} \cdot π

;-)

baumchen aktiv_icon

15:44 Uhr, 10.12.2013

:-))))))))))))))))))))))))))

danke und ja

d

sollte eigentlich

23

sein^^

baumchen aktiv_icon

21:02 Uhr, 10.12.2013

Ich hab noch eine Frage ich hab das noch mit einen anderen Punkt berechnet

b (25 | 16.24)

nur der Wert(-7.85) der da raus kommt muss in Klammern gesetzt werden woran liegt das?Weil ich habe doch genau die gleiche Funktion wie vorher benutzt und genau das gleiche Verfahren.

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16:05 Uhr, 11.12.2013

. .

. wenn du's ausmultiplizierst erhälst du:

\frac{π}{12} \cdot (t - 7,85)

= \frac{π}{12} \cdot t - \frac{π}{12} \cdot 7,85

= \frac{π}{12} \cdot t - 2,055 . .

.

und

\frac{2}{3} π

sind

2,09 . .

. .

. ist also "fast" das Gleiche. Kommt sicherlich durch ungenaues Ablesen.

;-)

baumchen aktiv_icon

16:13 Uhr, 11.12.2013

Darum gehts nicht, ich hab den punkt genau so wie du den Hochpunkt

(14 | 30)

in die Funktion eingesetzt und dann kam da dieser Wert

(7.85

der etwas von 8 abweicht da GeoGebra nur 2 Nachkommerstellen angezeigt hat) raus... was ja nicht sein kann.

baumchen aktiv_icon

16:29 Uhr, 11.12.2013

Also ich hab das nochmal mit nen anderen Punkt überprüft und da kam das richtige raus aber wieso nicht bei den Punkt womit ich das als erstes versucht habe???oder liegt es daran weil der Punkt ja so zu sagen im negativen bereich liegt??

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17:24 Uhr, 11.12.2013

. .

. bei deinem Punkt

(\begin{matrix} 25 \\ 16,24 \end{matrix})

erhalte ich für

\frac{16,24 - 23}{7} \approx - 1

und mit

a r c s i n (- 1) = \frac{3}{2} \cdot π

Dann

\frac{3}{2} \cdot π - \frac{25}{12} \cdot π = \frac{18 - 25}{12} \cdot π = - \frac{7}{12} \cdot π

und das sind

\approx - \frac{2}{3} \cdot π \approx - 2

. .

. wie auch immer du auf die

- 7,8

gekommen bist?

:-)

baumchen aktiv_icon

17:36 Uhr, 11.12.2013

Also arcsin

c = (- 1) = - 1.5708

c = - 1.5708 - 6.54498 ...

.

oder halt

c=arcsin(-1)-25/12

π

c = - 8,1157 ... . .

.

jetzt kapier ich nichts mehr..

Wie kommst du darauf: arcsin(−1)=3/2⋅π ?????

. .

. Ich weiss gar nicht was bei mir falsch gerechnet sein soll ich hab doch nur die Schritte wie vorher auch gemacht.....

anonymous

19:08 Uhr, 11.12.2013

Ich würde Dir empfehlen, dem Lehrer die Aufgabe um die Ohren zu hauen, weil der Temperaturverlauf sich nicht von einer trigo approximieren lässt....Im Hochsommer haben wir Tmax etwa gegen

18

Uhr und Tmin etwa um 6 Uhr.....

Das sind dann

12

Stunden...im Übrigen, was heißt eigentlich in der Mathematik "in den frühen Morgenstunden" ????

So ein Qautsch !

Edddi aktiv_icon

19:26 Uhr, 11.12.2013

. .

. das was dir da dein TR ausgespuckt hat ist eine Hauptlösung. Diese sind dann im Intervall

- π < x \leq π

.

Was wir brauchen ist eine Lösung im Intervall

0 \leq x < 2 \cdot π

.

Nun ist ja

sin (x) = sin (x + 2 \cdot k \cdot π)

Dein Ergebnis ist ja

- \frac{π}{2}

und so ist auch

- \frac{π}{2} + 2 \cdot π = \frac{3}{2} \cdot π

eine Lösung.

:-)

baumchen aktiv_icon

00:24 Uhr, 12.12.2013

Also worauf muss ich denn achten bei so einer Aufgabe das mir sowas nicht passiert??
Dürfen die Punkte die ich einsetz nicht in den Bereich sein wo die Kurve nach unten ausschlägt?Weil ich hab das ja nochmal mit einen Punkt probiert der auf den Teil ist wo auch der Hochpunkt ist und da kam ja wieder das selbe wie bei dir raus.

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06:15 Uhr, 12.12.2013

. .

. hast du meinen letzten Beitrag nicht richtg duchgelesen?

Also egal welcher Term im Sinus steht, es ist auf jeden Fall eine Sinunfunktion. Skizzier sie dir mal auf von 0 bs

2 \cdot π

.

Nimm nun irgendeinen negativen Funktionswert, Beispiel

- 1,

dann siehst du, dass die untere Halbwelle dieses Minmum bei

\frac{3}{2} \cdot π

hat.

Dein TR bringt als Lösung nun

- \frac{π}{2}

. Er hat dir die untere Halbwelle im 4. Quadranten als Hauptlösung präsentiert, also als ob du die Sinuswelle nach links weiterzeichnet.

Oder so:

Um eine Sinusfunktion um 1 nach rechts zu schieben machst du folgendes

sin (x) \to sin (x - 1)

Auf Grund der Periodität geht aber auch

sin (x - 1 + 2 \cdot k \cdot π)

mit

k \in Z

:-)

Edddi aktiv_icon

10:54 Uhr, 12.12.2013

. .

. hab' jetzt dein Problem gefunden.

Während es für die Maximaltemperatur innerhalb einer Periode nur eine (richtige) Lösung gibt, gibts für jede andere Tempratur immer 2 Lösungskurven, da

sin (x) = sin (π - x)

So gibts für

a r c s i n (\frac{16,24 - 23}{7})

gemäß TR die Lösung

- 1,308 . .

.

Aber auch

π - (- 1,308 ...) = 4,449 . .

. ist eine Lösung.

Die Temperatur von

16,24

° wird 2 mal (kurz hintereinander) erreicht.

Damit erhälst du für

c

die Werte:

c (- 1,308) = - 7,852

c (4,449) = - 2,095

Wir haben also folgende Lösungsfkt.:

T_{1} (t) = 7 \cdot sin (\frac{π}{12} \cdot t - 7,852) + 23 = 7 \cdot sin (\frac{π}{12} \cdot (t - 30)) + 23 = 7 \cdot sin (\frac{π}{12} \cdot (t - 6)) + 23

T_{2} (t) = 7 \cdot sin (\frac{π}{12} \cdot t - 2,095) + 23 = 7 \cdot sin (\frac{π}{12} \cdot (t - 8)) + 23

In der 2. Form erkennt ma jewils die Periode

T = \frac{2 \cdot π}{\frac{π}{12}} = 24

und die Verschiebung nach rechts um

30

(ist das Gleiche wie

6,

da Periode von

24)

bzw. 8

. .

. wie du siehst, hast du einen ungünstigen Punkt zur Bestimmung des Kurvenverlaufs ausgesucht, da nicht eindeutig.

;-)

baumchen aktiv_icon

14:23 Uhr, 12.12.2013

"Während es für die Maximaltemperatur innerhalb einer Periode nur eine (richtige) Lösung gibt, gibts für jede andere Tempratur immer 2 Lösungskurven, da sin(x)=sin(π−x)"

Achja macht Sinn :-D)
Also weiss ich jetzt solang es kein Hoch oder Tiefpunkt ist (also es mehrere Lösungen gibt) muss ich darauf achten, richtig?

vielen dank bist der beste :-D)

baumchen aktiv_icon

14:24 Uhr, 12.12.2013

baumchen aktiv_icon

14:24 Uhr, 12.12.2013

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15:05 Uhr, 12.12.2013

. .

. du solltest dann mindestens 2 Punkte gegeben haben, jeweils beide Lösungen berechnen und schauen, bei welcher die Lösungen identisch sind. das ist dann die Temp.-kurve für deine beiden Punkte.

;-)

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