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Umfang einer Parabel

Lehrer

Tags: Analysis, Parabel, Umfangberechnung

JueKei aktiv_icon

19:44 Uhr, 02.03.2010

Hallo Ihrs,
ich habe mir nach nie Gedanken gemacht wie den "Umfang" (oder Lauflänge) einer Parabel berechnen könnte.

Zum Beispiel Umfang eines parabelförmigen Grundstücks (dabei eine Seite x-Achse).

f (x) = 3 \frac{1}{3} x^{2} - 1,2

Wäre da ein aktuelles Problem (Nullstellen bei

\pm 0,6)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
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ahmedhos aktiv_icon

19:51 Uhr, 02.03.2010

3 \frac{1}{3} = \frac{10}{3}

?

Auf jeden Fall:

f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

\vec{c} (t) = (\begin{matrix} t \\ a \cdot t^{2} + b \cdot t + c \end{matrix})

\frac{d}{d t} \vec{c} (t) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \cdot a \cdot t + b \end{matrix})

| | \frac{d}{d t} \vec{c} (t) | | = \sqrt{1 + {(2 \cdot a \cdot t + b)}^{2}}

L (\vec{c} (t)) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} | | \frac{d}{d t} \vec{c} (t) | | d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{1 + {(2 \cdot a \cdot t + b)}^{2}} d t

http//de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral#Reelle_Wegintegrale
http//www.aitrob.de/publications/skripte/AnalysisIII-1/node3.html
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1059&mode=nested&order=0

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19:52 Uhr, 02.03.2010

ja, richtig verstanden

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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20:03 Uhr, 02.03.2010

Also bei mir:

\int_{- 0,6}^{0,6} \sqrt{1 + \frac{40}{9} x^{2}} \approx 1,469

(numerisch gelöst)

Bei dir sehen die Grenzen "schräg" aus, weil die Variable in der Grenze und unter dem Integral auftaucht?

ahmedhos aktiv_icon

20:07 Uhr, 02.03.2010

Ich habs korrigiert (Du machst anstatt

x

und

y

"t und c(t)"). Sag mal was unterrichtest du? :-)

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20:08 Uhr, 02.03.2010

Antwort war also "Ja, deine Lösung ist richtig"? !

Mathe!, Chemie, Informatik (Gym)
(trotzdem hab ich sowas noch nicht gemacht/gesehen)

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20:12 Uhr, 02.03.2010

Aber nebenbei

1,469

kann nicht stimmen, da die Parabel einen Tiefpunkt bei

(0 | 1,2)

hat. Sie kommt ja von

y = 0

runter und wieder hoch, es muss also mindestens

2,4

sein.

ahmedhos aktiv_icon

20:26 Uhr, 02.03.2010

Ja, meine Formel ist auf jeden Fall richtig. Was dahinter steckt ist nicht viel.

Du "parametresierst" die Kurve in Abhaengigkeit der Zeit "t". Jeder Punkt auf der Kurve ist durch die folgende Parametresierung gegeben:

\vec{c} (t) = (\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix})

\vec{c} (t)

ist also ein Ortsvektor.

Die zeitliche Ableitung des Ortsvektors ergibt der Geschwindigkeitsvektor, der am jeweiligen Punkt tangential die Kurve beruehrt.

Wenn man von

t_{1}

bis

t_{2}

der Betrag der Geschwindigkeit zusammenaddiert, also

\int_{t_{1}}^{t_{2}} | | \frac{d}{d t} \vec{c} (t) | | d t

erhaelt man die Laenge der Kurve bzw. die Bogenlaenge.

ahmedhos aktiv_icon

20:32 Uhr, 02.03.2010

ja, du hast Recht. Es ist auch

2,78807 L . E

f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

\vec{c} (t) = (\begin{matrix} t \\ a \cdot t^{2} + b \cdot t + c \end{matrix})

\frac{d}{d t} \vec{c} (t) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \cdot a \cdot t + b \end{matrix})

| | \frac{d}{d t} \vec{c} (t) | | = \sqrt{1 + {(2 \cdot a \cdot t + b)}^{2}}

L (\vec{c} (t)) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} | | \frac{d}{d t} \vec{c} (t) | | d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{1 + {(2 \cdot a \cdot t + b)}^{2}} d t

a = \frac{10}{3}, b = 0, c = - 1,2

"

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28sqrt%281%2B%2820%2F3+*+t%29^2%29%2C%28t%2C-0.6%2C%2B0.6%29%29

JueKei aktiv_icon

20:59 Uhr, 02.03.2010

(back again: war essen)

Dann muss ich mich vertippt haben,

2,8

glaube ich.

Danke

ahmedhos aktiv_icon

21:07 Uhr, 02.03.2010

Wenn die Ingenieure nicht einfach so runden und mit den Nachkommastellen arbeiten wuerden, haette ich mich natuerlich in einem Auto oder in einem Flugzeug sicherer gefuehlt :-D)

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