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Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion bilden

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Quadratische Funktion, Umkehrfunktion

Steeeve2 aktiv_icon

11:34 Uhr, 27.05.2012

Hallo zusammen,

eine Frage zu folgender Aufgabe:

Für welches

a \in ℝ

ist die Funktion

g : [a, \infty) \to ℝ, g (x) = x^{2} - 5 x + 4

injektiv?
Für welche Menge

B

wird dann die Funktion

f : [a, \infty) \to B, f (x) = x^{2} - 5 x + 4

bijektiv?
Berechnen Sie für diesen Fall die Umkehrfunktion

f^{- 1}

von

f

und skizzieren Sie beide Funktionen (evtl. mit Hilfe von Wertetabellen) im selben Koordinatensystem.

Meine Lösungs-Vermutungen ;-) sind folgende:

kleinstmögliches

a \in ℝ = 2,5

also Injektivität für

D_{f =} [2,5, \infty)

für Bijektivität müsste

B

ebenfalls

[2,5, \infty)

sein

Das eigentliche Problem bereitet die Umkehrfunktion.

Hier mein Lösungsansatz:

y = x^{2} - 5 x + 4 | - y

0 = x^{2} - 5 x + 4 - y

|p-q-Formel

x_{12} = 2,5 \pm \sqrt{\frac{9}{4} + y}

x_{1} = 2,5 + \sqrt{\frac{9}{4} + y} \to f^{- 1} = y = 2,5 + \sqrt{\frac{9}{4} + x}

x_{2} = 2,5 - \sqrt{\frac{9}{4} + y} \to f^{- 1} = y = 2,5 - \sqrt{\frac{9}{4} + x}

1.Frage: sind die Ergebnisse korrekt?
2.Frage: Welches ist die richtige Umkehrfunktion? Oder sind es beide?
3.Frage: Was hat die Menge

B

(Wertevorrat) mit der Umkehrfunktion zu tun?
4.Frage: falls die Ergebnisse falsch sind, wie gehts richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Einführung Funktionen
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen
Umkehrfunktion

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Underfaker aktiv_icon

11:52 Uhr, 27.05.2012

1. Nicht ganz
2. Wenn du dir das nicht überlegen kannst, probiere es mit einsetzen
3. Definitionsbereich der Funktion

f

ist Wertebereich der Umkehrfunktion zu

f

und andersrum, der Wertebereich ist wichtig für die Bijektivität und ergo wichtig dafür, dass es überhaupt eine Umkehrfunktion gibt.
4. Umehrfunktion richtig bestimmt, überlege welche von beiden, beide können es nartürlich nicht sein, was falsch ist, ist

B,

setze mal

2,5

ein...

Steeeve2 aktiv_icon

22:10 Uhr, 27.05.2012

Hallo nochmal,

zu

2 . :

Was soll ich wo einsetzen? Verschiedene x-Werte? Was dann? Ich hab mir beide Funktionen im Grafik-Taschenrechner angesehn - kann daraus aber nicht auf die richtige Funktion schließen.

zu

4 . :

sollte

B = [- 2,25, \infty)

sein - richtig?
Damit ist die Surjektivität gegeben, zusätzlich zur Injektivität, damit Bijektiv.

Gruß

Underfaker aktiv_icon

22:27 Uhr, 27.05.2012

4. jap
2.Setze ein zwei Elemente aus dem Definitionsbereich ein und probiere dann die beiden potentiellen Umkehrfunktionen, welche liefert die richtigen Eingabewerte?

Das ganze kann man auch anders herleiten.

f^{- 1} (x) = 2,5 \pm \sqrt{\frac{9}{4} + x}

B

ist

[- 2,25, \infty)

somit werden in

f^{- 1}

auch (irgendwann) immer größere

x

eingesetzt, daraus folgt aber unmittelbat, dass auch die Wurzel irgendwann gegen

\infty

geht, wenn wir die Wurzel subtrahieren, passt das dann noch zu dem Definitionsbereich von

f

und somit

W_{f^{- 1}} = [2,5, \infty)

? oder solllten wir die eher addieren.

Steeeve2 aktiv_icon

22:40 Uhr, 27.05.2012

Hallo,

also nach dem was Du geschrieben hast müsste

f^{- 1} = 2,5 + \sqrt{\frac{9}{4} + x}

die richtige Umkehrfunktion sein. So gehen die Funktionswerte von

[2,5, \infty)

Hab ich die Herleitung richtig verstanden - Wenn ich Werte aus meinem Wertevorrat (im Beispiel

B)

in die richtige Umkehrfunktion einsetze, dann dürfen nur Werte aus meinem Definitionsbereich dabei herauskommen?

Grüße

Underfaker aktiv_icon

13:12 Uhr, 28.05.2012

Sei

f : D_{f} \to W_{f}

bijektiv
dann gibt es

f^{- 1} : W_{f} \to D_{f}

ebenfalls bijektiv

Also ist der Wertebereich von

f^{- 1}

in der Tat

[2,5, \infty)

.

Also du hast es verstanden.

Steeeve2 aktiv_icon

19:49 Uhr, 28.05.2012

Vielen Dank für Deine Mühe - hat mir sehr geholfen.

Schönen Abend noch!

Gruß

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