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Umkehrfunktion von x²+6x-1 berechnen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Quadratische Funktion, Umkehrfunktion

 
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Aidee

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09:51 Uhr, 24.11.2011

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Hallo,

ich habe die Funktion f:f(x)x²+6x-1 gegeben. Daraus soll ich nun eine Umkehrfunktion berechnen, mit natürlicher Definitionsmenge und Wertebereich.

Ich fange an mit:

y=x2+6x-1

Nach einer quadratischen Ergänzung erhalte ich

y=x²+6x+3²-3²-1
y=(x+3)²-10
y+10=(x+3)²

Nun muss ich die Wurzel ziehen. Daher schränke ich meinen Definitionsbereich auf D=[-3,) ein.

y+10+3=x

Nun habe ich meine Umkehrfunktion:
f-1(x)=x+10+3

Da eine negative Wurzel nicht berechent werden kann, muss ich den Definitionsbereich einschränken auf D=[-10,). Allerdings ist er schon eingeschränkt auf D=[-3,)

Daher erhalte ich
f1:[-3,)f-1(x)x+10+3

Stimmt das denn so? Wenn ich nun f-1(-1) berechne, erhalte ich 6. Muss das aber eigentlich nicht -6 sein? Wo liegt mein Denkfehler?



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
ChakuZaa

ChakuZaa aktiv_icon

10:31 Uhr, 24.11.2011

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y+10=(x+3)2| Wurzel

y+10=x+3|-3

y+10-3=x

Da müsste der Vorzeichenfehler liegen :-)

Außerdem kann das Ergebnis der Wurzel ja immer pos. als auch neg. sein, wenn du quadrierst (Bsp :x2=9x=±9

Daher müsstest du hier ±y+10=x+3 schreiben.

Letztendlich erhälst du dann f-1(x)=±x+10-3

f-1(-1)=±9-3

+3-3=0
-3-3=-6
Aidee

Aidee aktiv_icon

11:12 Uhr, 24.11.2011

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So etwas habe ich mir auch schon fast gedacht. Die eigenen Fehler findet man aber immer so schwer. ;-)

Ein Frage noch. Habe ich nun nicht das Problem, dass meine Umkehrfunktion keine Funktion (laut Definition) mehr ist? Schließlich weißt sie ja nun einem x zwei Werte, wegen der Wurzel, zu. Gibt es hierfür eine Lösung? Ich stehe gerade auf dem Schlauch.
Antwort
DmitriJakov

DmitriJakov aktiv_icon

11:43 Uhr, 24.11.2011

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Du hast eine Wurzelfunktion, die gegenüber der "Standardwurzel" um 10 Einheiten nach links und um 3 Einheiten nach ober verschoben ist, ihren "Scheitel" also im Punkt S(-10|3) hat.

Die Einschränkung des Definitionsbereichs auf [-3;] ist m.E. unnötig, da x nicht mehr Teil der Definitionsmenge ist, sondern der Wertemenge. Einschränkungen der Definitionsmenge betreffen also nur y und sonst niemanden ;-)

Erst nach der Umbenennung ganz am Ende wird x wieder die Variable aus den Definitionsmenge. Und diese ist mit der Einschränkung x-10

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