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Umkreismittelpunkt im Dreieck berechnen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Dreieck, Gerade, Kreis, Mittelpunkt, Mittelsenkrechte, Umkreis

anonymous

20:31 Uhr, 01.04.2013

Hallo zusammen :-)

Ich soll den Umkreismittelpunkt

U

im Dreieck ABC bestimmen.

A (0 | - 3) B (8 | 1) C (1 | 7)

.

Nun, ich weiss, dass ich den Umkreismittelpunkt finde, wenn ich den Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten finde. Aber dann beginnt es schon

. .

.

- Wie finde ich die Vektoren der Mittelsenkrechten heraus?
- Wie berechne ich dann den Schnittpunkt?

Ich glaube um den Schnittpunkt herauszufinden muss ich die Mittelsenkrechten einfach gleichstellen. Also falls das stimmt, wäre mein Problem wahrscheinlich nur noch die Vektoren der Mittelsenkrechten herauszufinden.
Ich wäre wirklich froh um eure Hilfe :-)

Liebe Grüsse
Nina

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

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Eva88 aktiv_icon

20:49 Uhr, 01.04.2013

{(x - d)}^{2} + {(y - e)}^{2} = r^{2}

Punkte einsetzen und auflösen.

anonymous

20:51 Uhr, 01.04.2013

Danke für die schnelle Antwort. Diese Formel lernen wir leider erst in einigen Wochen und daher dürfen wir sie noch nicht benutzen

: S

Es soll wohl noch einen anderen Weg geben (einen komplizierteren nehm ich mal an :-P))

Eva88 aktiv_icon

20:54 Uhr, 01.04.2013

ok, anderer Weg.

Bestimme aus den Punkten

(0 | - 3)

und

(8 | 1)

die Hälfte der Strecke und die Normale, die dort draufsteht.

Das machst du dann nochmal mit dem Punkten

(8 | 1)

und

(1 | 7)

.

Wo die Normalen sich schneiden, ist der Schnittpunkt.

anonymous

20:59 Uhr, 01.04.2013

Dreieck
A(a1,a2)
B(b1,b2)
C(c1,c2)

Umkreismittelpunkt
M(m,n)

Der Umkreismittelpunkt ist von den drei Eckpunkten gleichweit entfernt.
d(A,M)=d(B,M)=d(C,M)

A(0,-3)
B(8,1)
C(1,7)

d (A, M) = ((0 - m)^{2} + (- 3 - n)^{2})^{1 / 2}

d (B, M) = ((8 - m)^{2} + (1 - n)^{2})^{1 / 2}

d (C, M) = ((1 - m)^{2} + (7 - n)^{2})^{1 / 2}

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten(m,n)

d(A,M)=d(B,M)
d(A,M)=d(C,M)

((0 - m)^{2} + (- 3 - n)^{2})^{1 / 2} = ((8 - m)^{2} + (1 - n)^{2})^{1 / 2} #^{2}

((0 - m)^{2} + (- 3 - n)^{2})^{1 / 2} = ((1 - m)^{2} + (7 - n)^{2})^{1 / 2} #^{2}

((0 - m)^{2} + (- 3 - n)^{2}) = ((8 - m)^{2} + (1 - n)^{2})

((0 - m)^{2} + (- 3 - n)^{2}) = ((1 - m)^{2} + (7 - n)^{2})

m^{2} + (9 + 6 n + n^{2}) = 64 - 16 m + m^{2} + 1 - 2 n + n^{2} # - m^{2} - n^{2}

m^{2} + (9 + 6 n + n^{2}) = 1 - 2 m + m^{2} + 49 - 14 n + n^{2} # - m^{2} - n^{2}

9 + 6 n = 64 - 16 m + 1 - 2 n

9 + 6 n = 1 - 2 m + 49 - 14 n

16 m + 8 n - 56 = 0

2 m + 20 n - 41 = 0 # * 8

16 m + 8 n - 56 = 0

16 m + 160 n - 328 = 0

z1-z2 isoliert n

n (8 - 160) - 56 + 328 = 0

- 152 n - 272 = 0

n = - 272 / 152 = 1, 789

16 m + 8 n - 56 = 0

m = (56 - 8 * 1, 789) / 16 = 2.6

M (2.6,,,,, 1.789)

anonymous

21:00 Uhr, 01.04.2013

Danke nochmals :-)

Ich habe OMc

= (4 | - 1)

bekommen und OMa

= (4.5 | 4)

. Nun habe ich doch noch Probleme mit dem Herausfinden des Schnittpunktes

. .

.
Muss ich aus ihnen zwei Parameterdarstellungen machen und diese dann schneiden?

*später hinzugefügt:*
Ich merke gerade, dass ich das gar nicht könnte

: S

Aber wahrscheinlich kann wirklich nur ich es nicht ;-)

Eva88 aktiv_icon

21:00 Uhr, 01.04.2013

ruf012: Darf noch nicht benutzt werden, steht da.

anonymous

21:01 Uhr, 01.04.2013

Stimmt, darf ich leider noch nicht benutzen. Aber vielen lieben Dank für die Mühe :-)

Eva88 aktiv_icon

21:05 Uhr, 01.04.2013

Aus den Punkten

(0 | - 3)

und

(8 | 1)

die Hälfte ist

(4 | - 1)

.

Jetzt die Steigung bestimmen.

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

m = \frac{4}{8} m = \frac{1}{2}

m \cdot m_{N} = - 1

n_{N} = - 2

y = m \cdot x + b

- 1 = - 2 \cdot 4 + b

- 1 = - 8 + b

b = 7

y = - 2 x + 7

Versuch mal die zweite Normale zu bilden.

Atlantik aktiv_icon

21:07 Uhr, 01.04.2013

Mit Vektoren kann ich es leider nicht.

Eine andere Möglichkeit:

Ich würde die Steigung der Geraden durch

A C

bestimmen

\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = m_{A C}

Die Steigung der Mittelsenkrechten ist dann

- \frac{1}{m_{A C}}

.

Dann benötigst du die Koordinaten der Mitte von

A C

Nun kannst du die Geradengleichung der Mittelsenkrechten bestimmen.

Annalog bekommst du auch die Gleichung der Mittellsenkrechten von

A B

.

Der Schnitt dieser Mittelsenkrechten ergibt den Mittelpunkt des Umkreises.

mfG

Atlantik

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anonymous

21:14 Uhr, 01.04.2013

Danke für eure liebe Hilfe. Ich blick leider überhaupt nicht mehr durch :-P) Aber dafür sind Lehrer ja da, er soll es mir dann erklären.
Noch einen schönen Abend wünsch ich euch :-)

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